TWed2k - 讀書會 - [問題]有關工程數學之向量空間R^n 請高手解答指教

主題: [其它綜合] [問題]有關工程數學之向量空間R^n 請高手解答指教 [打印本頁]

發表人: h80053 時間: 2006-8-24 03:40 PM 主題: [問題]有關工程數學之向量空間R^n 請高手解答指教

之前我問了不少題目. 首先先感謝有來留言的大大們

現在又有問題了還請幫忙指教

對適當的n而言,試決定向量集合是否為R^n之子空間

1.S由R^6中所有向量(x,0,0,1,0,y)所構成

2.S由R^4中第一與第二分量相等之所有向量所構成

3.S由R^3中在平面ax+by+cz=0上或平行於ax+by+cz=0之所有向量所構成
其中a,b,c為實數且至少有一不為零 S是否為R^3之子空間?

==================

[h80053 在 2006-12-20 10:30 PM 作了最後編輯]

發表人: 碎葉 時間: 2006-8-24 04:11 PM

微積分學不好的話,你的工數會很吃力,到時要看可是都會看不懂...我就是一個活生生的範例....

發表人: k75715 時間: 2006-8-25 11:47 PM

工數有很多東西印象中
線代微方複變
沒記錯的話會有這些

微積分不好微方就一定暴走了

發表人: ur2581 時間: 2006-8-26 11:48 AM

微積分在工科方面是最基礎的部份
不管是工數或其他相關類型的學科都需要他
所以微積分的基礎一點要打很穩喔

發表人: h80053 時間: 2006-8-26 12:32 PM

線代微方複變

這是???

發表人: k75715 時間: 2006-8-26 04:50 PM

引用:

h80053寫到:

線代微方複變

這是???

線性代數微分方程複變數函數論

發表人: h80053 時間: 2006-8-26 06:17 PM

線性代數聽起來就很難@@ 不知道有沒有什麼可以參考的書說

發表人: ur2581 時間: 2006-8-26 07:36 PM

線性代數還好....
復變函數就難很多了

等到工數最後的偏微方程....
前面沒有學好後面整個都垮了XDXD(--->過來人XD

發表人: h80053 時間: 2006-8-26 10:41 PM

想請問一下大家學不好工數,後來是怎麼補救的?? 謎?? 請說說看吧

謝謝

發表人: k75715 時間: 2006-8-27 01:20 AM

引用:

h80053寫到:

線性代數聽起來就很難@@ 不知道有沒有什麼可以參考的書說

線代
Linear Algebra - Friedberg
Linear Algebra... - Strang
Linear Algebra - Hoffman (經典之作)

這幾本書還不錯XD

發表人: ykiwi 時間: 2006-9-2 12:22 AM

考研究所時工數是我的最痛!

花好多時間看但分數都沒起色!

發表人: h80053 時間: 2006-9-2 08:45 PM

看來大家都對這個很苦惱..

發表人: ouden 時間: 2006-9-2 09:07 PM

考研究所時...工數完全放棄...

還好那一組可以不考工數...

線性代數微分方程複變數函數論
這些都只是一小部分
還有傅利葉..幾率統計.. 想的到的幾乎都有
通說每間學校都會有考古題.. K熟就對了..
加油~~祝你資格考過關

發表人: 45326565 時間: 2006-9-3 03:44 PM

今年微積分期末34分.....據說是歷年最低分...

我想工數應該會再創紀錄吧

發表人: h80053 時間: 2006-9-3 08:08 PM

因為要教了所以很疑惑到底是在上些什麼

數學是我心中的痛... 想先建立好的心態..

但是聽起來好像蠻難的...

發表人: mocaca0918 時間: 2006-9-3 08:57 PM

工數是很多理工科人心中的痛

發表人: shelley0411 時間: 2006-9-3 11:31 PM

想我高中唸的是文組
根本沒學過微積分
到了大三卻去選了土木系
工程數學....搞死我了
到現在還是不懂
還好畢業後也不需要用到

發表人: ck56 時間: 2006-9-4 12:50 AM

這本應該還蠻多人在用的

Part1 Ordinary Differential Equations
Part2 Vectors and Linear Algebra
part3 Systems of Differential Equations and Qualitiative Methods
Part4 Vector Analysis

發表人: pobo 時間: 2006-9-6 01:14 PM

工程數學...好難阿
但是幾乎只要是工學院的就一定要會
SO加油吧

發表人: 南無 時間: 2006-9-10 08:38 AM

需要從逐章研討嗎?

pdf我不會做

我記得這裡高手很多

例:一階微分方程式y'+8y=0,y=ce(-8x) <-8x是上標>

sol:設y=ce(-8x)

      y'=-8ce(-8x)

代入O.D.E

      y'+8y=0

   -8ce(-8x)+8*(ce(-8x))=0

故為一階微分方程式

這題很簡單不會考

[南無在 2006-9-12 10:22 PM 作了最後編輯]

發表人: ad5747 時間: 2006-9-10 06:47 PM

微積分不好有那麼嚴重嗎~
微積分是工數的基礎是沒錯啦
不過不太表學工數就很難吧~
我的微積分也很肉腳!
如果只是要解題的話其實工數還是很簡單吧~
真正難的是應用題吧~自己要列出方程式然後再解題~
如果只是純解題很簡單的~不過就幾種方法而已~

發表人: k75715 時間: 2006-9-11 11:53 AM

可是微積分不好那妳微方要怎麼作呢:p

發表人: 小少 時間: 2006-9-11 10:07 PM

多練習吧，尤其 ODE 這邊，只要練習多了就不難...

向量和線代才恐怖...
一扯到空間都沒完沒了 Orz

至於 PDE ... 那不是藍星人的學問...

個人小感想，工程數學是應用數學，可以的話，用你實際在用的東西去理解會比較簡單。
例如：學電機的用電路的概念去看 ODE ，學通訊的怎麼用線代去處理信號... 等

不過我工數那時也考不好啦~~~ 哈哈 XD

發表人: h80053 時間: 2006-9-11 10:15 PM

學電機的用電路的概念去看?? 這可難倒我了..@@

例:一階微分方程式y'+8y'=0,y=ce(-8x)

這是在寫什麼呢呵呵

感覺板上很多人都工科底子的.
謝謝

發表人: BoAMai 時間: 2006-9-12 03:45 AM

只能說工數你要微分跟積分要蠻熟練的...因為一直會用到。所以一定要學好....因為我是過來人..

暑假有空就慢慢摸...不然到最後連電路學、數位邏輯、自動控制、通訊系統會學的很辛苦....

因為幾乎看到題目就暈了...

其實數學還需要一點天份，不然就慢慢摸索去理解。花點時間..

如果你只求60分那就不用花太多時間嚕~去刻鋼板就OK嚕...

就像我們工數老師說的:...(他現在是系主任出過蠻多書的)

「當你工數算到後來會覺得很有趣......(真的是這樣沒錯...只要你一了解很多迷惑都被解開了)

「不過同學，天已經漸漸亮了........」(因為大家都在其中期末考前一天才拼命讀...

)

[BoAMai 在 2006-9-12 03:49 AM 作了最後編輯]

發表人: k75715 時間: 2006-9-12 11:06 AM

引用:

h80053寫到:

學電機的用電路的概念去看?? 這可難倒我了..@@

例:一階微分方程式y'+8y'=0,y=ce(-8x)

這是在寫什麼呢呵呵

感覺板上很多人都工科底子的.
謝謝

我想你想打的應該是  y' + 8y =0
我打通式好了  也就是  f'(x) = a* f(x)  a in R
那是著名的Malthus人口方程  至於電機上的概念XD  抱歉我不會

發表人: javawork 時間: 2006-9-12 09:30 PM

y' + 8y =0......
電路學的RC一階微分電路....
工數不是天書...
但是....要花很多時間念沒錯....
以前上課沒好好學...
到補習班猛K還好有一點用...
基本上是會用到微積分的概念...
但不是那麼深....
加油...

發表人: wu4294u4 時間: 2006-9-14 01:37 AM

嗯，在通訊領域中工數學不好的話，到後來其他的東西就會越來越像天書，
首先爆掉應該是電路學以及電子學，再來就是訊號與系統，
再來就是電磁學，通訊理論，微波工程，啊~~~可怕的惡夢

發表人: h80053 時間: 2006-9-16 09:28 PM

聽老師說,工程數學能應用在電機電子等方面再靠方程式做出電路@@ 真是神奇阿..

發表人: ur2581 時間: 2006-9-16 10:08 PM

引用:

h80053寫到:

聽老師說,工程數學能應用在電機電子等方面再靠方程式做出電路@@ 真是神奇阿..

嗯嗯...
工數中的傅立業還可以用在程式上面勒XD

發表人: h80053 時間: 2006-9-17 05:44 PM

被那老師說的很難的樣子@@ 這下可得請教大家是如何度過的了

發表人: 碎葉 時間: 2006-9-20 09:14 PM

我只能說全班一起都不會算,在來本身的成績在前幾名,這時老師就只能全班一起加分到只當幾個人,這時妳的工數就過去了....本人就讀的學校不是很好,只能這樣過關,換了別的學校我就不知了

發表人: 阿喬 時間: 2006-9-20 10:34 PM

微積分工數應該都還好感覺沒啥太難的地方 (前提是有興趣+有在學)
記得當初很像學年成績96吧 = =?我是讀電子的為了拿獎學金去唱歌才拼命算的 (這是我的原動力)
要PASS 只要不要當後面6%的人就好了吧我學校是這樣啦哈哈

發表人: 南無 時間: 2006-9-20 11:00 PM

現在是否要決定一起討論嗎?

P.D.E又沒寫出來

不努力將來怎麼找工作,相信我你絕對用得到

發表人: h80053 時間: 2006-9-20 11:23 PM

問個題目

決定所予函數是否為微分方程式之ㄧ解
y、(指Y的一階)
2yy、=1:?(X)=√x-1 ,x>1

?是一個符號,不會打

我們老師沒講例題就出了幾題給我們算@@
所以跟本搞不清楚如何做題目

也請板上大大們幫幫忙了

謝謝

[h80053 在 2006-9-20 11:24 PM 作了最後編輯]

發表人: 南無 時間: 2006-9-20 11:32 PM

這是線性方程還是初值方程

看不懂你的問題

第幾章

[南無在 2006-9-20 11:33 PM 作了最後編輯]

發表人: h80053 時間: 2006-9-20 11:40 PM

第一章的一階微分方程式

發表人: 南無 時間: 2006-9-21 10:42 PM

O'Neil第一章前言第一題

2yy'=1  ;y=√(x-1) forx>1

sol:

   設y=√(x-1)

         y'=[(x-1)<1/2>上標]'

         =1/2(x-1)<1/2>

代入O.D.E

         2yy'=1

         2*(√(x-1))*1/2[1/(√(x-1)]=1

故y=[√(x-1)] 為其一解 ,x>1

偷看答案

發表人: h80053 時間: 2006-9-22 09:32 AM

不好意思可以請大大解釋一下嗎??

感覺是要做微分?? 不太了解

謝謝

發表人: h80053 時間: 2006-9-22 10:06 AM

5.xy'=x-y;?(x)=(X*X)-3/2x ,x不等於0

======
是這樣算嗎?

設y=(x*x)-3/2x
y'=2(X*X*X)-6x
=6(X*X)-6

代入 xy'=x-y中
算出 24(x*x*x)-12x

非其一解 #

發表人: 南無 時間: 2006-9-23 06:27 AM

分式不是這樣算的

差太多了

我有空幫你算一下

我寫的很清楚耶也交代很詳細那不懂呀!

發表人: h80053 時間: 2006-9-23 06:31 AM

上標??代入O.D.E??
我不太清楚自變數與因變數??@@

南無大大你那一題好像少了個負號說

分式型是怎麼算的? 還請大大有空指導一下

謝謝

請問大大能給我第5題跟第九題的答案嘛
我想看我有沒有算對

[h80053 在 2006-9-23 10:15 PM 作了最後編輯]

發表人: 南無 時間: 2006-9-24 01:00 PM

第5題你算錯了

第9題<雙曲三角>

sinh(x)*y'+y*cosh(x)=0 ;y=-1/sinh(x)

sol:

   設y=-1/sinh(x)

      y'={-1[sinh(x)]-1<上標>}'

         ={-1*-1[sinh(x)]-2<上標>*cosh(x)}

         =cosh(x)/sinh2<上標>(x)

代入O.D.E
         sinh(x)*y'+y*cosh(x)=0

         sinh(x)*cosh(x)/sinh2<上標>(x)+[-1/sinh(x)]*cosh(x)=0

故y=-1/sinh(x)為其一解

第5題也是為其一解,因本電腦無word無法做編輯所以等我下載完再說

<第5題很簡單是d/dx (f(x)/g(x))=g(x) df(x)/d(x)-f(x) d(g(x)/d(x)/[g(x)2<上標>],我想你看不懂此行翻一下微積分即可的悉>

第一題我並無輸入錯誤,我想是你不了解我的編排方式

如果你有負表示你得到零分

發表人: h80053 時間: 2006-9-24 01:36 PM

南無大大我買的是歐迺爾的翻譯本
第9題我懂了謝謝

可是
上標??代入O.D.E??
我不太清楚自變數與因變數??@@

我想問 1-2的

1.3.9
有答案也行我有算其中一題

謝謝

[h80053 在 2006-9-25 11:47 PM 作了最後編輯]

發表人: ccc12011126 時間: 2006-9-27 05:38 PM

工數要學好，本身的數學底子要好，
若自己數學底子不好，那上補習班也是可以補救回來。

發表人: 南無 時間: 2006-9-30 01:21 PM

1.-y'+2y=8x(2)<上標>

sol:

   原式同除-1

      y'-2y=-8x(2)<上標>

      積分因子I(x)=e(s-2dx)<上標>       <s:積分符號>

                        =e(-2x)<上標>

         e(-2x)<上標>*y=se(-2x)<上標>*-8x(2)<上標>dx

                           u                            dv

               +    -8x(2)<上標>                e(-2x)<上標>

               -    -16x                            -1/2 *e(-2x)<上標>

               +    -16                               1/4 *e(-2x)<上標>

                  -       0                               -1/8 *e(-2x)<上標>

  =8x(2)<上標>*  -1/2 *e(-2x)(上標>+16x * 1/4 *e(-2x)(上標>+

16 *-1/8 *e(-2x)<上標>+C

同除e(-2x)<上標>

   y=4x(2)<上標>+4x+2+C * e(2x)<上標>

      2.y'-3/x y =2x(2)<上標>

sol:

   積分因子I(x)=e(s-3/x)dx <上標>

                     =e(-3lnx)

e(-3lnx)*y=se(-3lnx) *2x(2)<上標> dx

               已經到得分位置就是算不對

不知接下來該怎解

3.y'+1/xy=x2<上標>+2

sol:

      積分因子I(x)=e(s(1/x))dx <上標>

                        =e(lnx)<上標>

      e(lnx)<上標>*y=se(lnx)<上標>*[x2<上標>+2]dx

            x*y=sx*(x2<上標>+2)dx

                  =sx(3)<上標>+2xdx

                  =1/4 *x(4)<上標>+x(2)<上標>+C
同除x

               y=1/4 *x(3)<上標>+x+c/x

[南無在  2006-10-1 05:39 AM 作了最後編輯]

發表人: h80053 時間: 2006-9-30 10:08 PM

謝謝南無大大的無私幫助

我在先試看看

發表人: x721012 時間: 2006-10-1 09:12 AM

第二題的積分因子I=e(-3lnx)=x^(-3)
x^(-3)*y=Sx^(-3)*2x^2 dx=S 2/x dx=2*ln!x!+2*lnC=2*ln(C*x)
y=2*x^3*ln(C*x)

原本積分後常數是C...為了整理成更漂亮的答案所以寫成2*lnC仍為常數...且!X!打開之+-號被C常數吃掉...可以將答案代入ODE中驗証

發表人: x721012 時間: 2006-10-1 09:52 AM

一階ODE概略解題思路：
第1：首先觀察看看是否能使用合併法。
第2：若不行便看一下是否為齊次ODE，有些非齊次能化為齊次。
(齊次ODE會比較快看出，但能合併的話要積分時會比較容易積出，個人覺得看配分....配分少通常能直接用合併法算出來)
第3：不能合併且非齊次..就看是否為線性，線性很好判斷...也不用等到上面兩個都不能用...前三題南無大大解的就是線性ODE
前三種方法都沒辦法算出就剩下Benoulli ODE 跟Riccati ODE
以上五種都沒辦法算出...那就沒辦法解出來了....如果你解出來了就可以跟Benoulli跟Riccati一起掛名了^0^
所以囉...一般都會用正合且要背正合的公式與找積分因子...不用懷疑唷...不用它是可以解出且速度更快。
但還是要看一下正合...以免題目限定用正合的方法解題或叫你用正合找積分因子。正合真的理解的話也是可以不用背正合公式的。
大家加油啦!!!

發表人: h80053 時間: 2006-10-1 01:19 PM

真的十分感謝2位的幫忙等等回宿舍在研究一下有問題的話我在提出問題
謝謝

發表人: h80053 時間: 2006-10-1 06:39 PM

沒想到剛剛看了一下 @@既然都看不懂

積分因子I(x)=e(s-2dx)<上標> <s:積分符號>

=e(-2x)<上標>
這裡我就不會了........
S怎麼消失了?還有DX呢??
雖然大大已經寫的很清楚了但是..在算算看
謝謝

發表人: x721012 時間: 2006-10-1 09:57 PM

你是誤解了....S←積分符號....所以S -2 dx是對-2積分....所以等於-2x

發表人: h80053 時間: 2006-10-2 10:19 AM

e(-2x)<上標>*y=se(-2x)<上標>*-8x(2)<上標>dx
i(e) * y = i(e) * x

dy 怎麼不見了？？ y'不是等於 dx/dy ?? s又是?

問題太多@@ 還請包含

發表人: x721012 時間: 2006-10-2 07:57 PM

那我用我的解法讓你看看是否能理解....
原式乘以-1： y'-2y=-8x^2
dy/dx -2y=-8x^2
同乘以dx：dy-2ydx=-8x^2 dx
積分因子：I=e^(S-2dx)=e^(-2x)
同乘以積分因子：e^(-2x) * dy - e^(-2x)*2ydx=e^(-2x) *(-8x^2)dx
e^(-2x) *dy +yd(e^(-2x))=e^(-2x) *(-8x^2)dx
將e^(-2x) 看成一個數假設看成t好了：tdy+ydt=d(y*t)
所以：d(y*e^(-2x))=e^(-2x) *(-8x^2)dx
兩邊同時積分(掛上積分符號S)：S d(y*e^(-2x))=S e^(-2x) *(-8x^2)dx
將y*e^(-2x)看成一個數U好了：左式→ S dU=U
所以：y*e^(-2x)=S e^(-2x) *(-8x^2)dx
之後就跟之前南無大大解的一樣...右邊積分多個積分常數左邊的e^(-2x)再除過去...那為什麼左邊的積分怎麼沒有積分常數呢?是因為兩邊同時積分後左邊的積分常數可以移到右邊與右邊的積分常數合併成一個常數...所以只有一個積分常數。
那你可能會有個疑問，就是同乘積分因子後左邊的第二項怎麼能合併到後面去...功力夠用看的OK...不夠的話你把它微開就真的是這樣....但你可能會覺得那當我算到這裡怎麼知道要這樣合併?..其實很簡單，線性ODE乘完積分因子後左邊一定是y併積分因子也就是：左式*I=d(yI)因為乘上積分因子代表ODE會正合意思就是可以直接積出來。之後右式積分再把I除過去。
這也就是很多人常常會背的公式：y = I^(-1)*S I*Q(x) dx
所以你可以不用背唷...只要記得是同乘積分因子(因要造成正合，ODE可以直接積出)...左式是y併積分因子就ok了。

發表人: h80053 時間: 2006-10-3 12:06 AM

e^(-2x) *dy +yd(e^(-2x))=e^(-2x) *(-8x^2)dx 這裡我開始看不懂了

2ydx 在乘了e^(-2x)後變成了yd(e^(-2x)) ??

d(y*e^(-2x))=e^(-2x) *(-8x^2)dx 這一行??

我真的搞不懂說因為課本也沒多說明外加數學不好所以 .....

謝謝大大

發表人: x721012 時間: 2006-10-3 01:06 AM

我前一篇後面的說明有說喔(倒數第五行)...你可以把說明全看完...其實這部份也可以不用懂！不過當然能理解是最好的。
同乘以積分因子後左式的第二項：- e^(-2x)*2ydx=+yd(e^(-2x))
d是代表微分所以由右邊來說：y*d(e^(-2x)) = y*e^(-2x)d(-2x)= -2y*e^(-2x)dx=左式...(我說的把它微開就是這個意思)
白話一點來說：把d後面拿出來是微分，相反的把前面拿進去就是積分
所以由左式要變到右式就是要把 -e^(-2x)*2丟進去，就是把它積分：S -e^(-2x)*2 dx=e^(-2x)
所以 - e^(-2x)*2 ydx前面丟進去：+yd(e^(-2x)).....(我說的功力夠就是積分用看的，怕看錯心算微回去確定)
這個方法在我之前所提到的合併法裡常常使用.....
比如隨便舉一個簡單的小例子：y*cosxdx+sinx*dy=0
→ y*dsinx+sinx*dy=0
將sinx看成一個數 t 好了：ydt+tdy=d(yt)
所以：d(y*sinx)=0→ y*sinx=C→ y=C/sinx

如果還有不懂的地方可以再問唷....建議實際用筆寫在紙上比較好懂，畢竟電腦的符號比較侷限

發表人: h80053 時間: 2006-10-3 06:22 PM

真的是謝謝大大
我想再這問一些作業的題目
=======
決定微分方程式是否可分離? 若是,則求其解;若否,不必求解
1.xy'+y=y^2
2.y+y'= e^x-sin(y)
=============

我第一題是這麼算
x(dy/dx)+y=y^2
x(1/dx)=y^2-y/dy
再來積分 S:積分符號
Sx(1/dx)=Sy^2-y/dy
inlxl=inly^2-yl

再來我就不會了......
我去看解答他寫這樣
========
A: The equation separates as dx/x=(dy/y^2-1)+(1/y-1/y-1)dy .
   integration gives inlxl+c = inly/y-1l  which can be rewritten
as y=ax(y-1) this can easily be solved for y to give y=1/1-ax
y(x)=0 is also a singular solution

  (1/y-1/y-1)dy  是怎麼出來的阿@@ 解答是如此表示的
   跟我寫的差很多....

   謝謝

發表人: x721012 時間: 2006-10-3 11:07 PM

不好意思先導正一下你積分算法：
照你的算法那 S 1/(x-1)(x+2) dx不就變成 ln l(x-1)(x+2)l 了...所以當然不是呀!變數在分母的話要用變數代換或用因式分解再用部份分式，像這個例子因式分解好了所以將1/(x-1)(x+2)化成部分分式：1/(x-1) - 1/(x+2) 再個別積分
回到原式：
x(dy/dx)+y=y^2
x(dy/dx)=y^2 - y
同乘以dx：xdy=(y^2 - y)dx
通常變數分離最好是將dx和dy保持在分子所以同乘以1/x *1/(y^2 - y)：1/(y^2 - y) dy=1/x dx
但需令(y^2 - y)不等於0
兩邊積分：S 1/(y^2 - y) dy=S 1/x dx
將 1/(y^2 - y)分母因式分解=1/y(y-1) 再將其化為部份分式 -1/y+1/(y-1)
所以原積分為：S (-1/y+1/(y-1)) dy=S 1/x dx
-ln lyl + ln ly-1l = ln lxl + lnC
ln ly/(y-1)l= ln Clxl
ly/(y-1)l=Clxl
正負號都被常數吃掉還是常數：y=Cx(y-1) 此為通解
別忘了你乘分母的時候要注意：當(y^2 - y)=0時 y=0 y=1為奇異解
不信你把y=0跟y=1代回原ODE也都是解唷！不過通常都討論非零解也就是y=0通常不算

發表人: h80053 時間: 2006-10-3 11:36 PM

通常變數分離最好是將dx和dy保持在分子所以同乘以1/x *1/(y^2 - y)：1/(y^2 - y) dy=1/x dx

-ln lyl + ln ly-1l = ln lxl + lnC
ln ly/(y-1)l= ln Clxl
ly/(y-1)l=Clxl

這裡我不清楚....

[h80053 在 2006-10-4 12:02 AM 作了最後編輯]

發表人: x721012 時間: 2006-10-4 11:25 PM

xdy=(y^2 - y)dx
你要把上式變數分離不是要把有x的丟一邊、y丟一邊嗎?所以你會把x除到右邊，(y^2 - y)除到左邊
這樣的做法雖然是已覺得是理所當然，但基本的原理卻是兩邊同乘1/x *1/(y^2 - y)
所以要注意分母不得為零囉！
S 1/(y^2 - y) dy=S 1/x dx → 分母因式分解後將1/y(y-1)化為部份分式也就是要把分母拆開，變成兩個分式相加：所以你可以假設 1/y(y-1) =  A/y+B/(y-1)..................(1)
右式通分相加為 (A(y-1)+By)/y(y-1)
所以1/y(y-1) = ( (A+B)y-A )/y(y-1)  比較左右式分子的係數得到A+B=0 -A=1 所以A=-1 B=1代回(1)式：1/y(y-1)= -1/y+1/(y-1)
回到S 1/(y^2 - y) dy=S 1/x dx就變成：S (-1/y+1/(y-1)) dy=S 1/x dx
-S 1/y dy+ S 1/(y-1) dy = S 1/x dx
第二項S 1/(y-1) dy ：變數變換令y-1=u，dy=du→ S 1/u du=ln lul=ln ly-1l
原本積分常數為C但大家都是ln，所以為了可以合併方便積分常數取lnC，常數取ln也是常數所以沒差
所以就變成：-ln lyl + ln ly-1l = ln lxl + lnC  (題目沒說y大於1跟x大於1，且ln中不能為負所以掛l l)
ln的運算方法是相加裡面的數相乘，相減相除：所以上式：ln ly-1l - ln lyl = ln lxl + lnC
→ ln ly/(y-1)l= ln Clxl
裡面的數相等：l y/(y-1) l=Clxl
打開絕對值：(+或-) y/(y-1)= (+或-)Cx
y=(+或-)/(+或-)  Cx(y-1) → y=(+或-)  Cx(y-1)
因為+C或-C都還是常數丫...所以是C
所以y=Cx(y-1)

發表人: h80053 時間: 2006-10-5 12:17 PM

S 1/(y^2 - y) dy=S 1/x dx → 分母因式分解後將1/y(y-1)化為部份分式也就是要把分母拆開，變成兩個分式相加：所以你可以假設 1/y(y-1) = A/y+B/(y-1)..................(1)
右式通分相加為 (A(y-1)+By)/y(y-1)
所以1/y(y-1) = ( (A+B)y-A )/y(y-1) 比較左右式分子的係數得到A+B=0 -A=1 所以A=-1 B=1代回(1)式：1/y(y-1)= -1/y+1/(y-1)

請問這一段是在對左邊做積分嗎??

大大所教的因該就這邊比較有問題
我回去算算看

發表人: h80053 時間: 2006-10-5 05:17 PM

y'-2y=-8x^2
這題答案是
y*e^(-2x)=S e^(-2x) *(-8x^2)dx ??

還是有其他答案呢??

謝謝

發表人: x721012 時間: 2006-10-5 11:57 PM

回覆第61篇：那段是在對左邊積分裡面的東西做處理才能把它直接積出來
回覆第62篇：
y'-2y=-8x^2
→y*e^(-2x)=S e^(-2x) *(-8x^2)dx 當然是要繼續算丫...ODE目的是在幹嘛?就是要把y算出來丫...你右邊都還沒積出來咧! 我不是有說之後的南無大大就有算出來了!所以我就沒寫了可見你沒回去看南無大大的解....請看完與看清楚整篇完整文章。
至於右邊是對x積分，但裡面卻是兩個函數相乘，當加減號時積分可以分別積分再做加減，但相乘時就要用部分積分：S u dV =U*V- S V dU
不好意思想說一句話請不要生氣...你的微積分感覺是一片空白完全沒學過一樣，化為部分分式跟部分積分都算蠻基本的唷!所以建議你去翻一下微積分，或者問一下同學，因為積分不只這兩種方法，有時只要變數變換有時卻要化為真分式，所以你現在總不能遇到一題就覺得這一題就是要這樣解，而把解法記起來，那題目無限多怎麼記?隨便換題就不會啦！且工數通常會把積分當成類似九九乘法一樣的理所當然，因此有些地方一下子就自動需在腦子裡快速知道怎麼積出來，不然你一題三個小時也解不完，因為每到一段小積分就相當你又面對著一題新題目。提出問題當然是很樂意幫你解答，但是畢竟用打字的蠻不方便的，因為有些地方用講的會比用打的清楚，因為數學只要懂它的意思某些地方講一下自然就會覺得這麼做是理所當然的，有時反而在電腦上打的很詳細但卻還是又似懂非懂的。
不好意思喔，唸了一堆，繼續再幫你解下去一遍吧！那就先直接積右式出來給你看：
S e^(-2x) *(-8x^2)dx= -8*S e^(-2x) *(x^2)dx
為了使用部分積分所以把e^(-2x)丟進去dx，之前說過丟進去就是積分所以變成 -1/2 d (e^(-2x))
所以 -8*S e^(-2x) *(x^2)dx= -8*(-1/2)* S (x^2) d (e^(-2x))
《S u dV =U*V- S V dU  》
套上公式U=(x^2)，V=e^(-2x)：4*﹝(x^2)*e^(-2x) - S e^(-2x) d (x^2) ﹞
=4*(x^2)*e^(-2x) - 4*S e^(-2x) *2x dx
前段照抄，後面的積分還是要再做一次並把常數2提出去：
=4*(x^2)*e^(-2x) - 4*2*S x*(-1/2) d (e^(-2x))
後段的常數都乘起來：
=4*(x^2)*e^(-2x) +4*S x d (e^(-2x))
《S u dV =U*V- S V dU》
= 4*(x^2)*e^(-2x)+4 ﹝x *(e^(-2x)) - S e^(-2x) dx ﹞
=4*(x^2)*e^(-2x)+4 ﹝x *(e^(-2x)) - (-1/2)*e^(-2x) ﹞+ C
=4*(x^2)*e^(-2x)+4 x *e^(-2x) +2*e^(-2x) + C
所以原始ODE為：
y*e^(-2x) = 4*(x^2)*e^(-2x)+4 x *e^(-2x) +2*e^(-2x) + C
同除以e^(-2x)：
y=4*x^2 +4 x  +2 + C*e^(2x) 即為ODE之通解

順便跟你說一下你之前的問題(找積分因子)：
線性ODE的樣子都是 y'+Py=Q，P、Q皆為x的函數
積分因子就是e^(S P dx)
兩邊同乘積分因子：
e^(S P dx) *(dy/dx)+ e^(S P dx)*Py=Q*e^(S P dx)
同乘dx：
e^(S P dx) *dy+ e^(S P dx)*Py*dx = Q*e^(S P dx) *dx
左式一定會合併成d(y*e^(S P dx)) = Q*e^(S P dx) *dx
兩邊同時積分：
y*e^(S P dx) = S﹝Q*e^(S P dx) ﹞dx
右邊積出來後，左邊的e^(S P dx) 再除到右邊得到y，即為ODE之通解

發表人: h80053 時間: 2006-10-6 07:53 PM

剛翻了一下課本@@終於記起來部分分式是什麼...

大大說工程數學的型式有很種請問積分是最重要的嘛

來去算其他題目有問題我再請大大幫我看看

謝謝

發表人: HCY1528 時間: 2006-10-7 02:15 PM

其實微積分只是工數的一個工具
工數裡有很多並不是要人理解
它只是要你運用解題
與其說它是數學
不如說它是背的數學
需要牢記很多公式

小弟大學時唸的還過的去
比較難的是<laplace><向量>等章節
總之解決工數最好途徑
多背
多解題~熟記各題型解題技巧

[HCY1528 在 2006-10-7 02:16 PM 作了最後編輯]

發表人: x721012 時間: 2006-10-7 04:31 PM

微積分是工數的基本工具沒錯，但我覺得只要懂怎麼微怎麼積跟微與積的關係，當然主要很多人的問題是在積分方面，但只要看得出來第一反應要變換變數還是部份分式或部分積分，能把它積出來，那在工數上應該就夠用了！
我個人有不同的看法是...背的數學唸起來是超級辛苦的，原理懂也不用懂的很徹底，懂個六七分然後知道大概怎麼來的重點要會用，在這方面如果有旁人告訴你更好，你會發現原來工數是可以這麼解的！學校老師的教法一定是一個主題一個主題，你就會覺得這個題目就是要這樣解就是要這個公式，又不懂是怎麼來的為什麼要這樣解要用這樣的公式，以至於會想說背起來吧！所以就愈背愈多!但如果知道解法與解法間的關係，比如說哪個是最能解出大部份題目且最快的方法優先考慮，不行的話再來再想到哪個方法，依序這樣想，就跟菜放在你面前叫你吃飯，你一定會先想說飯在哪裡我要先去拿添飯再來拿筷子然後再去坐下來吃，就這樣覺得理所當然。拿工數的一階ODE來說，我之前PO的那個思路如果你懂每個東西是在說什麼，那麼你看到一階ODE不就能很輕鬆的解出來了，正合公式也不需要背跟他人比起來你又少了一堆公式！當然這也不是我發明，也是經由別人告訴我我才知道原來可以這麼想這麼解!且用背的話，可能你學到Laplace就把ODE全忘光了...
工數說一點都不用背是騙人的比如說Laplace、Fourier等等轉換的某些東西為了解題方便需要背起來但像向量背起來也不見得解得出題目唷...就像基本的數學九九乘法要背，平方和要背三角函數要背等等，，但你用久了也就變成很理所當然的寫出來。
總而言之...用背的時間來算題目，多算是最好的方法，當然你所要付出的便是你那寶貴的時間！加油啦...
個人淺見....

發表人: h80053 時間: 2006-10-9 05:24 PM

再來請問大大題目

求(1-2xe^2y)y'-e^2y=0之通解

這一題不知道如何下手@@
還請大大解題
謝謝

======
正合微分方程式

2y^2+ye^xy+(4xy+xe^xy+2y)y'

不會下手@@

[h80053 在 2006-10-9 07:41 PM 作了最後編輯]

發表人: x721012 時間: 2006-10-10 12:04 AM

第一題：(1-2xe^2y)y'-e^2y=0
(1-2xe^2y) dy/dx-e^2y=0
不喜歡有分母，同乘dx：(1-2xe^2y) dy-e^2y dx=0
dy-2xe^2y dy - e^2y dx=0
前面提到一階ODE先試第一招，合併法：
觀察一下發現-2xe^2y dy - e^2y dx 這兩項都有e^2y所以放一起試試看能不能合併：
dy- (2xe^2y dy + e^2y dx)=0
dy - ﹝x d(e^2y)+ e^2y dx﹞=0
將e^2y看成一個u好了，xdu+udx=d(xu) = d(x*e^2y)
ODE等於：dy-d(x*e^2y)=0
積分：S dy- S d(x*e^2y)=0
y - x*e^2y= C 為ODE之通解

第二題：2y^2+ye^xy+(4xy+xe^xy+2y)y' = 0
2y^2+ye^xy+(4xy+xe^xy+2y)dy/dx = 0
不喜歡有分母，同乘dx：2y^2 *dx + ye^xy *dx +(4xy+xe^xy+2y) *dy = 0
2y^2 *dx + ye^xy *dx + 4xy *dy + xe^xy *dy +2y*dy = 0
遇到一階ODE一樣先試試合併法，況且又已知是正合一定能用(你要背正合公式就辛苦你啦！)：
合併法需找有dx的跟dy的才能合併，所以把長的比較像的放在一起且把x*y同次數的放一起：
(2y^2 *dx + 4xy *dy) + (ye^xy *dx + xe^xy *dy) +2y*dy = 0
2*(y^2 *dx + 2xy *dy) + e^xy (y*dx + x *dy) +2y*dy = 0
2*﹝y^2 *dx + x *d(y^2)﹞ + e^xy (y*dx + x *dy) +2y*dy = 0
2*d ﹝x*(y^2)﹞+ e^xy d(xy) + 2y*dy = 0
積分：S 2*d ﹝x*(y^2)﹞+ S e^xy d(xy) + S 2y*dy = 0
2 x*(y^2)+ e^xy + y^2 = C 為ODE之通解

註：S e^xy d(xy) 將xy看成u，S e^u du=e^u=e^xy
用紙筆抄一下再看比較容易看，因為電腦符號看起來比較難懂....

發表人: h80053 時間: 2006-10-10 09:31 AM

觀察一下發現-2xe^2y dy - e^2y dx 這兩項都有e^2y所以放一起試試看能不能合併：
dy- (2xe^2y dy + e^2y dx)=0
dy - ﹝x d(e^2y)+ e^2y dx﹞=0

這裡不清楚@@ 課本有說分離法跟線性法 dy是如何跑出來的?

謝謝

發表人: x721012 時間: 2006-10-10 10:51 AM

同乘dx後：(1-2xe^2y) dy - e^2y dx=0
同學...分配率= =!!!...dy乘進去而已：dy- 2xe^2y dy -  e^2y dx =0
dy - (2xe^2y dy +  e^2y dx)=0
合併不就是要製造xdu+udx=d(xu)，所以要配一個dx一個du
(2xe^2y dy +  e^2y dx)把e^2y看成一個u，所以有udx還少一個xdu，所以需把2xe^2y dy裡的e^2y丟進微分(d)後面，之前說過丟進去要積分，這樣微出來才會跟題目一樣，丟進去變為1/2*d(e^2y)所以(2xe^2y dy +  e^2y dx)=(2*1/2xd(e^2y) +  e^2y dx)=(xd(e^2y)  +  e^2y dx)=d(x*e^2y)

注：你在丟進去時也可以直接先丟進去然後把它微出來，看看與原式差多少再看要除什麼還是乘什麼，比如2xe^2y dy 先直接把e^2y丟進去變為x d(e^2y)，把 xd(e^2y)在心裡微出來後為x*2e^2ydy剛剛好與原來的一樣，所以2xe^2y dy = x d(e^2y)。

合併法課本裡是沒有的，但卻是最好用的，它僅是利用微分與積分之間的關係跟轉換，並把數多項併成幾項而順利積出。據我所知大多數學校的老師是沒教過的，僅有少數補習班老師會教，且也是補習班老師引以為傲的解法。

發表人: h80053 時間: 2006-10-10 11:17 AM

(xd(e^2y) + e^2y dx)=d(x*e^2y)
是怎麼變成d(x*e^2y) 的阿??
一開始最前面的dy 不用理他了??還是說dy 就是xdu+udx=d(xu) 中的 d(xu)??

=======

這方法跟課本的比起來迅速好多=.=
請問大大如果是一階的題目都能用嗎(比如說用來解分離法跟線性法的題目)
老師不知道會不會接受
再來研究看看
謝謝

發表人: x721012 時間: 2006-10-10 01:34 PM

(xd(e^2y) + e^2y dx)=d(x*e^2y)
比較(xdu+udx)=d(x*u)這樣看出來了沒???
dy還在丫，ODE會變成：dy-d(x*e^2y)=0
你再把第68篇看一次，用筆先抄起來，省去一些電腦符號你會看得更清楚。
那是因為我po的步驟很細，再加上文字說明，否則你自己用筆在算時感覺會更快。

至於一階ODE的解法我在第49篇說過了，而合併法大概可以用到一階的七成左右，為了方便你看我把它復製下來：

一階ODE概略解題思路：
第1：首先觀察看看是否能使用合併法。
第2：若不行便看一下是否為齊次ODE，有些非齊次能化為齊次。
(齊次ODE會比較快看出，但能合併的話要積分時會比較容易積出，個人覺得看配分....配分少通常能直接用合併法算出來)
第3：不能合併且非齊次..就看是否為線性，線性很好判斷...也不用等到上面兩個都不能用...前三題南無大大解的就是線性ODE
前三種方法都沒辦法算出就剩下Benoulli ODE 跟Riccati ODE
以上五種都沒辦法算出...那就沒辦法解出來了....如果你解出來了就可以跟Benoulli跟Riccati一起掛名了^0^
所以囉...一般都會用正合且要背正合的公式與找積分因子...不用懷疑唷...不用它是可以解出且速度更快。
但還是要看一下正合...以免題目限定用正合的方法解題或叫你用正合找積分因子。正合真的理解的話也是可以不用背正合公式的。

發表人: h80053 時間: 2006-10-10 01:58 PM

謝謝大大我了解第一題了

研究第二題@@

發表人: h80053 時間: 2006-10-10 09:30 PM

請問一下大大,如果是非正合的題型.
合併法
能用嗎??

比如說這一題  (老師的教法)

(3xy+y+4)dx+1/2xdy=0

偏微分y=3x+1 不等於偏微分x=1/2

由類型一 =>  f(x)=偏微分y-偏微分x/n
               =3x+1-1/2/1/2x
               =6+1/x

積分因子  i(x)=e^s(6+1/x)dx=e^(6x+lnx)=xe^6x

原式 x i(x)= xe^6x(3xy+y+4)dx+xe^6x(1/2x)dy=0
   符號不會打用?表示    ?(x,y)=sxe^6x(3xy+y+4)dx+k1(y)........(1)
                                          =sxe^6x(1/2x)dy+k2(x)........(2)

前面我還看的懂接下來這行我就@@

(1)(2)式可得?(x,y)=1/2x^2ye^6x+2/3xe^6x-1/9e^6x=c

這是怎麼變的阿?? 不了解

先謝謝大大

發表人: x721012 時間: 2006-10-11 01:08 AM

以我的思考模式來想的話：(3xy+y+4)dx+1/2xdy=0
不喜歡有分母，同乘2並把dx乘開：6xy dx+ 2ydx+8dx+ xdy=0
先試合併法，將同x*y同次放一起：6xy dx+ (2ydx+ xdy) +8dx =0
僅中間項能合併：6xy dx+ ﹝d(x^2 *y)﹞/x + 8dx =0
同乘x：6x^2 *y dx+ ﹝d(x^2 *y)﹞ + 8xdx =0
6x^2 *y dx這項無法直接積出，合併法失敗。
觀察一下又不為齊次ODE所以亦失敗。
第3看是否為線性ODE：
由此式：6xy dx+ 2ydx+8dx+ xdy=0
將dy前面的x除掉並把dy拿到前面，把沒有y的放到右式：
dy+ 6*ydx+ 2/x *ydx= -8/x dx
dy + (6+2/x)*ydx = -8/x dx
此為線性ODE (看不習慣可以同除dx：dy/dx + (6+2/x)*y = -8/x)
積分因子 I=e^S (6+2/x)dx = e^(6x+lnx^2) =x^2 *e^(6x)
線性ODE兩邊同乘積分因子I：
x^2 *e^(6x)*dy + x^2 *e^(6x)*(6+2/x)*ydx = x^2 *e^(6x) *-8/x dx
左邊看起來很復雜，但不用怕，一定就是y併積分因子的全微分，且右邊再整理一下：
d(y*x^2 *e^(6x)) = -8x*e^6x dx
兩邊同時積分：S d(y*x^2 *e^(6x)) = -8 S x*e^6x dx
右式需用部分積分積出，所以把e^6x丟到後面：y*x^2 *e^(6x) = -8 S x* 1/6 *d(e^6x) + C
y*x^2 *e^(6x) = -8/6 S x d(e^6x) +C  【S udv=uv- S vdu】
y*x^2 *e^(6x) = -4/3 ﹝ x (e^6x) - S e^6x dx﹞ +C
y*x^2 *e^(6x) = -4/3 ﹝ x (e^6x) - 1/6* e^6x﹞+C
y*x^2 *e^(6x) = -4/3  x (e^6x) + 2/9* e^6x +C
(要跟你的答案比較的話同除以2，全移到左邊只留C/2，而C/2也是常數寫成一個新的c 所以可以跟你的答案一模一樣)
但最好的寫法是儘量寫成顯函數，就是把y給明確的寫出等於多少，但有些不能寫就不用了，此題可以寫：
所以ODE通解為：y = -3/(4x)+2/(9x^2) +C/x^2 *e^-6x

非正合時合併法有時也是能用，能用的話更快！但此題剛好不能用，又不為齊次ODE所以走第三條路以線性ODE來解。之前提過如果題目沒有限定的話用正合解題目付出的代價就是麻煩且要背公式，看你還寫出類型一那應該有類型二類型三之類的...除了要背，久了還會搞混！一階ODE送你這五條路是全OK且思考模式會覺得理所當然就是這樣做，沒有特例，特例能解得出來你就可以掛名囉!

如果回答你的問題的話，就是把(1)式裡的y都看成常數然後對x積分，積出來後不是要加個常數嗎?
此時你把y當成常數了，所以後面那個常數就是y的函數
同理把第(2)式裡的x當成常數然後對y積分，積出來後的常數就是x的函數
你積出來後的(1)、(2)式其實是同個函數也就是你的解，所以(1)式裡的y函數就是在(2)式裡面你積出來的那些y，(2)式裡面的x函數就是(1)式裡面積出來的那些x：你比較一下就知道了！
它沒有積出來，所以跳了很多步，因為我看了一下感覺要把(1)式積出來還蠻麻煩的！
(2)式就直接變成： y*xe^6x(1/2x) +k2(x) 因為裡面沒有y所有的x都當成常數所以積出來只是多個y，麻煩在第(1)式！

發表人: h80053 時間: 2006-10-11 05:11 PM

看起來好像很複雜..

dy+ 6*ydx+ 2/x *ydx= -8/x dx
dy + (6+2/x)*ydx = -8/x dx
此為線性ODE (看不習慣可以同除dx：dy/dx + (6+2/x)*y = -8/x)

這一段沒有經驗的話因該一開始也不知道...

我現在搞混了題目來了不知道要用合併法還是線性法或是其他方法

謝謝大大

發表人: h80053 時間: 2006-10-11 09:24 PM

2*(y^2 *dx + 2xy *dy) + e^xy (y*dx + x *dy) +2y*dy = 0
2*﹝y^2 *dx + x *d(y^2)﹞ + e^xy (y*dx + x *dy) +2y*dy = 0

2xy 怎麼變成X??

這樣有符合UDX+XDU嗎??

謝謝

發表人: x721012 時間: 2006-10-12 12:14 AM

回覆第76：
不會搞混呀...告訴你的那五條路是按照順序的咧！所以你看我之前解的時候剛看到題目我也不知要用什麼丫，所以先試試合併法，因為失敗所以接著看看是否為齊性ODE，不是的話就看看是不是線性，要判斷是否為線性很簡單啦，否則就像你說的怎麼會知道整理成線性，判斷線性就看一下應變數(y)，如果沒有任兩個以上應變數相乘的話就為線性啦( 就是沒有y*y、y^3、y*dy也算....)...你看一下題目是不是沒有就是啦！
所以看到題目不要緊張，依序判斷解題，很有順序也不難判斷的。
回覆第77：
2xy不是直接變成x，是2xydy變成 x*d(y^2) ，2xydy是對y微分，那把前面的y丟進去不是要積分嗎?就變成2x 1/2d(y^2)= xd(y^2)
直接看的話為了跟前面的那項配，直接先丟進去再用心算微出來看看是不是跟2xydy一樣：xd(y^2)=x*2ydy真的一樣就對啦！
y^2 *dx + x *d(y^2)，你把y^2看成u不就是udx+xdu了嗎???

發表人: h80053 時間: 2006-10-12 12:50 AM

2*(y^2 *dx + 2xy *dy) 只要是符合XDU+UDX就可以轉換

我明天PO出我算到一半的題目再請大大糾正錯誤

謝謝

發表人: h80053 時間: 2006-10-12 08:01 PM

1/x+y+(3y^2+x)y'

我的算法

y的偏微分=x的偏微分
所以為正合可以用合併法

(ydx+3y^2dy)+(1/xdx+xdy)=0 相同的放一起

用 udx+xdu=d(ux) 的觀念

算出

3/2y^2d(y^2)+inxd(1)=0

請問算到這還算對嗎??
我覺得我錯的很嚴重
謝謝

發表人: x721012 時間: 2006-10-13 09:53 PM

合併法不一定要正合....但正合一定能用合併法...是這樣子的...
不是因為正合所以"才"可以使用合併法，這點要注意一下!
(ydx+3y^2dy)+(1/xdx+xdy)=0 這裡就錯了，不是相同的放在一起，是"同次"(x乘y的次數)放在一起，ydx跟xdy都是1次所以放在一起，其它y^2dy跟1/xdx可以直接積出來就不用合併了。
所以是：
(ydx+xdy)+ 3y^2dy+ 1/x dx=0
d(yx)+ 3y^2dy+ 1/x dx=0
積分：S d(yx)+ S 3y^2dy+ S 1/x dx=0
yx+3/3y^3+ln lxl + lnC =0
yx + y^3 + ln Cx=0 即為ODE之通解

發表人: h80053 時間: 2006-10-13 10:12 PM

3y^2dy+ 1/x dx 這一段不能用合併嗎??

還是說只要看到同次項的在合併就好了??

因為之前有一題大大你是合併2個..所以我以為一定都要合併2個

謝謝

發表人: x721012 時間: 2006-10-13 10:30 PM

你的微分可以直接積出來就好了丫~~為什麼還要合併????比如xdx就能直接積出來變成1/2 x^2啦，
那ydx沒辦法積出來丫！因為你是對x做積分耶...但你的積分S ydx裡面有y耶...y也是一個變數耶！你總不能把它直接提出來吧....y是x的函數也是要經過積分耶！所以　ydx就沒辦法直接積出來，才需要藉由跟xdy一起合併而直接積出來

發表人: h80053 時間: 2006-10-13 10:51 PM

請問大大1/x+y+(3y^2+x)y' 這一題也能用積分因子的算法求出來嗎??

因為我會把它跟合併法混在一起 @@

發表人: x721012 時間: 2006-10-14 11:31 AM

什麼叫積分因子的算法???你是指線性嗎?
有兩個y以上相乘就不是線性了耶...裡面有 y^2 dy 三個y相乘耶！所以它不是線性ODE!
而且你都已經知道是正合了，正合的意思就是沒有乘任何東西就可以直接合併積出來！乘的東西就叫積分因子，都已經是正合了怎麼會還有積分因子呢？？？

發表人: h80053 時間: 2006-10-14 03:19 PM

謝謝大大的說明我在研究其他題目不會我在PO

謝謝

發表人: h80053 時間: 2006-10-15 05:09 PM

這一題 e^xsin(y)-2x+(e^xcos(y)+1)y'=0

我的算法

e^xsin(y)dx-2xdx+(e^xcos(y)+1)dy=0

整理

(e^xsin(y)dx+e^xcos(y)dy)-2xdx+dy=0

使用合併法

e^xd(sin(y)cos(y))-2xdx+dy=0

積分

esin(y)cos(y)-x^2+y+c

上面是我算出來的解

可是課本的答案是
esin(y)-x^2+y+c

是哪裡出問題@@

等等在PO新的題目上來問

謝謝

發表人: x721012 時間: 2006-10-15 07:02 PM

(e^xsin(y)dx+e^xcos(y)dy)-2xdx+dy=0 到這裡都很正確。
接下來合併是要udx+xdu=d(u*x)
所以有兩個東西在d的前面就要把其中一個丟到後面丫
﹝sin(y)d(e^x) + e^x d(sin(y))﹞ -2xdx+dy=0
d (sin(y)*e^x) -2xdx+dy=0
積分：sin(y)*e^x - x^2+y=C

你比較一下udx+xdu=d(u*x)
你覺得你的作法有符合嗎????

發表人: h80053 時間: 2006-10-15 07:33 PM

﹝sin(y)d(e^x) + e^x d(sin(y))﹞ -2xdx+dy=0

+ e^x d(sin(y))  這裡為什麼是SIN?是因為SIN的微分變COS呢??

謝謝

======

yx^y-1+x^yin(x)dy/dx=0

我的算法

yx^y-1dx+x^yin(x)dy=0
使用合併法
=>x^y-1d(y)+in(x)d(x^y)

積分
=>x^y-1*in(x)#

不知道這樣算對不對還請大大糾正

=====

還有這一題

ysinh(y-x)-cosh(y-x)+ysinh(y-x)dy/dx=0;y(4)=4

先整理

                  這裡用合併法
ysinh(y-x)-{cosh(y-x)dx+ysinh(y-x)dy}=0

只知道到這樣=.=
========

謝謝  大大

[h80053 在  2006-10-15 09:33 PM 作了最後編輯]

發表人: ghost811343 時間: 2006-10-17 11:00 PM

e^xsin(y)-2x+(e^xcos(y)+1)y'=0
這一題有正合到，建議用正合的方法算，
合併法只適合較不複雜的ode(指很單純的x或y構成)

原式化成=
(e^xsiny-2x)dx+(e^xcosy+1)dy=0

這樣應該很清楚了吧

發表人: h80053 時間: 2006-10-18 07:49 AM

正合的方法?不清楚@@

是指說把算式整理好後做績分??

謝謝

發表人: ghost811343 時間: 2006-10-18 08:13 AM

引用:

h80053寫到:

正合的方法?不清楚@@

是指說把算式整理好後做績分??

謝謝

我直接講算法好了，原理一講就沒完沒了

(e^xsiny-2x)dx+(e^xcosy+1)dy=0

在dx左邊括號內的東西，對y偏微(dx不用微，只微分括號內的東西)

在dy左邊括號內的東西，對x偏微(dy不用微，只微分括號內的東西)

若兩項偏微後的值相等的話，就是正合，確定正合之後可開始求解，

分別積分(e^xsiny-2x)dx和(e^xcosy+1)dy

兩項求出來的解取聯集(如果不懂聯集的話最好看一下課本，我很難解釋，看一下正合的簡單例題即可)，即為通解

至於ysinh(y-x)-cosh(y-x)+ysinh(y-x)dy/dx=0;y(4)=4這題

我算了一下發現不是正合，因為差了個負號

只要ysinh(y-x)dy/dx這項前面是負號就正合了

如果不是正合的話我也想不出有什麼辦法可解了

用分離變數或合併法都算不下去

發表人: h80053 時間: 2006-10-18 10:49 PM

兩項求出來的解取聯集??
課本好像沒有這個名詞...

現在我搞不懂正合跟非正合的算法是否都能用合併法?

2階程以上的題@@花了

還請各方好手幫忙

謝謝

發表人: ghost811343 時間: 2006-10-19 06:22 PM

引用:

h80053寫到:

兩項求出來的解取聯集??
課本好像沒有這個名詞...

現在我搞不懂正合跟非正合的算法是否都能用合併法?

2階程以上的題@@花了

還請各方好手幫忙

謝謝

就拿(e^xsiny-2x)dx+(e^xcosy+1)dy=0這題來講

已經確定正合了，分別積分(e^xsiny-2x)dx和(e^xcosy+1)dy

積分(e^xsiny-2x)dx的解為e^xsiny-x^2+f(y)

積分(e^xcosy+1)dy的解為e^xsiny+y+g(x)

聯集的解為e^xsiny-x^2+y=c 即為通解

至於是否正合，要看題目而定，

比如說題目一大串有e^x配上一堆三角函數通常先考慮有沒有正合，

如果沒有的話再考慮其他方法，如白努利或判斷是否為一階線性ode之類的，合併法為下策，最難算

故合併法只適合單純x，y構成，若x，y的次項都很高，比如x^5或y^7，

就得用比較係數的方法。

二階以上就比較單純了，找齊次跟非齊次解就好了，

齊次解而特徵方程求出，非齊次解法就多了，一言難盡，

所以就慢慢學吧，對我而言，或許二階程以上ode還比一階好學，

因為一階真的很難判斷要用什麼方法，所以最好買一本參考書，題目多做吧

發表人: h80053 時間: 2006-10-19 06:30 PM

請問大大ysinh(y-x)-cosh(y-x)+ysinh(y-x)dy/dx=0;y(4)=4

這堤如何解呢?
謝謝

發表人: x721012 時間: 2006-10-20 12:28 AM

引用:

ghost811343寫到:

引用:

h80053寫到:

不好意思喔...我沒有惡意...我只是不太讚同你說合併法為下策耶！
合併法可能你不常用所以你覺得難用吧...它可以解出70%左右的一階ODE咧...遇到非正合也能用耶...除了我前面說的另四個之外但屬於那四個的有些還是能用耶(不麻煩的話請爬文參考一下)...利用正合解法...遇到正合的話要積分積兩次再取聯集...遇到非正合還要找積分因子還要背公式才能再分別直接積分...合併法的話一合併積一次就出來了咧...
舉個例子喔：xdy=(y+xy^2)dx
這題非正合你可以用正合的方法算算看唷...
合併法的解法是這樣：
xdy-(y+xy^2)dx=0
(xdy-ydx)-xy^2 dx=0
同乘1/y^2：1/y^2 (xdy-ydx)-xdx=0
-d(x/y)-xdx=0
-x/y - 1/2x^2=C
五行就出來了咧...光判斷是不是正合或找積分因子就不只五行囉！

(e^xsiny-2x)dx+(e^xcosy+1)dy=0這題正合沒錯
合併法：
e^xsin(y)dx+e^xcos(y)dy)-2xdx+dy=0
﹝sin(y)d(e^x) + e^x d(sin(y))﹞ -2xdx+dy=0
d (sin(y)*e^x) -2xdx+dy=0
積分：sin(y)*e^x - x^2+y=C
四行算式就出來了...也不需判斷正不正合...更不用積兩次取聯集...

我不是說大大的意見不好啦...我只是提出我的看法...
一階ODE我覺得比較好解...因為...它不用背公式= =!!!...而且只有五條路還有次序的走...
二階ODE的話遇到二階變係數就要用公式囉...不然就要級數解了咧= =....

發表人: ghost811343 時間: 2006-10-20 01:17 AM

[quote]x721012寫到:

不好意思喔...我沒有惡意...我只是不太讚同你說合併法為下策耶！

我想你誤會我的意思了，雖然合併法可解70%的題目，但畢竟是易學難用，

很多題目並不是用看就看的出來，尤其是考研究所的題目，合併法也可解到兩頁以上，

不是唬人的，我買了一本喻超凡的工數，合併法算的真的很頭痛，

所以我才會說只適合單純的x、y構成的ode比較適用合併法，這題xdy=(y+xy^2)dx就很單純

要我做的話我也只選合併法，才不會考慮正合

而那題例題是因為第一眼看到就有正合的直覺才用正合的，並不是特別推荐，

只是覺得用正合做還滿簡單的，解題方法當然因人而異，只要認為快就好了

發表人: ghost811343 時間: 2006-10-20 01:23 AM

引用:

h80053寫到:

請問大大ysinh(y-x)-cosh(y-x)+ysinh(y-x)dy/dx=0;y(4)=4

這堤如何解呢?
謝謝

我仔細算了一下，換了很多種方法，也跟要考研究所的同學討論過了，

我們的結論是這題真的很難，不知是否有正確答案，可否先過目一下，

換了很多種方法都不適用，都算超過15分鐘，不像是剛學工數該有的難度，

還有不知題目是不是有打錯，再確定一下

發表人: Johnny Brove 時間: 2006-10-20 01:30 AM

引用:

ghost811343寫到:

這題在我的工數課本上有

不過只是要判別其是否為exact的DE而已

原本我是想找個integrating factor來乘的

沒想到會那麼的難找

看樣子要請高手解決了

發表人: h80053 時間: 2006-10-20 09:27 AM

引用:

ghost811343寫到:

引用:

h80053寫到:

請問大大ysinh(y-x)-cosh(y-x)+ysinh(y-x)dy/dx=0;y(4)=4

這堤如何解呢?
謝謝

這一題答案是  not exact

這題因該是非正合.課本的問法是正合的話求解非正合則不用.

===============

看到大大們在討論合併法的問題.我有一些疑問

照大大們說的話,只要是一階的題目不管是正合或非正合亦或是線性非線性
好像都能用 {合併法}  但有些題目難看出來怎麼用(對於我來說)
而課本的算法是什麼{位勢函數}的  看不懂@@ 而老師自己又有自己的解法{特徵方程式}

像這個  F(x)=(y的偏微分-x的偏微分/n)

3種方式  ?? 搞不充楚  (雖然我覺得合併法比較簡單如果有看出來的話)
遇到正合的話要積分積兩次再取聯集...遇到非正合還要找積分因子還要背公式才能再分別直接積分
聯集是什麼?? 我課本教的就是聯集?

個人的淺見

也謝謝大大幫忙

[h80053 在  2006-10-20 09:35 AM 作了最後編輯]

發表人: Johnny Brove 時間: 2006-10-20 12:51 PM

引用:

h80053寫到:

照大大們說的話,只要是一階的題目不管是正合或非正合亦或是線性非線性
好像都能用 {合併法}  但有些題目難看出來怎麼用(對於我來說)
而課本的算法是什麼{位勢函數}的  看不懂@@ 而老師自己又有自己的解法{特徵方程式}

像這個  F(x)=(y的偏微分-x的偏微分/n)

3種方式  ?? 搞不充楚  (雖然我覺得合併法比較簡單如果有看出來的話)
遇到正合的話要積分積兩次再取聯集...遇到非正合還要找積分因子還要背公式才能再分別直接積分
聯集是什麼?? 我課本教的就是聯集?

你的合併法是指?

至於位勢函數potential function

顧名思義

應該就是處理保守力能量的DE

聯集直接講就是or的意思

他是指一個DE: M(x,y) + N(x,y)y' = 0

在利用exact算法時

p/py (∫M(x,y)dx) = p/py φ(x,y) = N(x,y)

(p是partial,偏微)

這種"共同"成立的情況(所以這裡要用交集才對吧?)

發表人: x721012 時間: 2006-10-20 07:55 PM

引用:

ghost811343寫到:

[quote]x721012寫到:

要講到考研究所的題目用合併法算兩頁，那用正合不就更多了...
我要強調的是...合併法要了解怎麼用跟熟練...而真正要知道怎麼用書上是看不來的...選哪兩項要在一起合併、為什麼合併會變這樣，怎麼會想得到這樣？跟一些小技巧書本上是不會寫的...都是有它的道理的...隨便亂看當然覺得很困難且難看...
上面我舉的那題主要是在強調他的快速及便倢...
那如果是這題咧???
(2y sinx+3y^4 sinx cosx)dx - 4 y^3 (cosx)^2+cosx)dy = 0【95 北科高分子10%】
這題你可以試試正合算法...
合併法：(寫在紙上比較清楚，電腦符號有限難表示)
(2ysinx dx - cosx dy)+(3y^4 sinx cosx dx - 4y^3 (cosx)^2 dy)=0
(-2y dcosx - cosx dy)+(-3y^4 cosx dcosx-(cosx)^2 dy^4)=0
(2y dcosx+cosxdy)+cosx(3y^4 dcosx+cosxdy^4)=0
d﹝y(cosx)^2﹞/cosx + cosx【d﹝y^4 (cosx)^3﹞】/(cosx)^2 =0
乘cosx：d(y(cosx)^2)+d﹝y^4 (cosx)^3) =0
y(cosx)^2+y^4 (cosx)^3 =C
每一步都有它的為什麼...為什麼那兩項要放一起為什麼要這樣合併...有一套思路的...
這難道只適合單純的x、y構成的ode????況且研究所考試的時間寶貴呢！如上題佔十分的話你的時間也差不多只有十分鐘！除非你的積分因子用”猜”對了= =....
正合簡單是因為遇到的題目都是正合吧 ....
我個人認為正合才是易學難用...原理很簡單...但處理起來很麻煩...要找積分因子還要背公式...積分因子又不見得很好找....之後再經歷拉氏轉換跟 Fourier series還記得多少公式???
個人淺見...
【純討論...沒有情緒反應...大家一起討論討論求進步】

發表人: x721012 時間: 2006-10-20 08:35 PM

引用:

h80053寫到:

引用:

ghost811343寫到:

引用:

h80053寫到:

請問大大ysinh(y-x)-cosh(y-x)+ysinh(y-x)dy/dx=0;y(4)=4

這堤如何解呢?
謝謝

之前那題答案是not exact ←就是非正合的意思...硬要解的話有可能解不出來...ODE是會解不出來的..
這個 I(x)=e^ S (dx前面那堆對y的偏微分 - dy前面那堆對x的偏微分)/n dx ←你們老師教的這個就是正合的積分因子的公式...
一階ODE我之前有說過丫...若沒限定解法依序就是合併法、齊次ODE、線性ODE、Benoulli、Riccati
至於分離變數(變數分邊同時積分)我當做常識...正合的話無限定就可以不用
正合白話一點就是...
step 1.假使一個ODE正合(就是dx前面那堆對y偏微分會"等於"dy前面那堆對x偏微分)
step 2.對dx前面那堆把y當作常數然後對x積分就是你的ODE通解，積分出來不是會出現常數而因為你把y當作常數來積，所以你積出來的常數就為y的函數
step 3.對dy前面那堆把x當作常數然後對y積分也是你的ODE通解，積分出來不是會出現常數而因為你把x當作常數來積，所以你積出來的常數就為x的函數
step 4. 那你的通解就是將step 2跟step 3積出來的式子比較...step 2 積出來的未知常數y函數就是step 3的y函數，step 3積出來的未知常數x函數就是step 2的x函數，就是兩個式子都是一樣的，比較一下兩式缺什麼那就互補的意思。

假使ODE沒有正合：就是dx前面那堆對y偏微分會"不等於"dy前面那堆對x偏微分
那就得找積分因子了...要猜積分因子是y函數還是x函數或x、y的函數，通常是先猜積分因子為x函數就是你上面寫的I(x)=e^ S (dx前面那堆對y的偏微分 - dy前面那堆對x的偏微分)/n dx 這個公式(仁慈的老師出的)...如果你的積分裡面那堆就是你說你們老師寫的 F(x)=(y的偏微分-x的偏微分/)n這堆偏微分微出來後還有y那就表示失敗...因為你已經假設F是x的函數裡面還有y就造成矛盾了！就要換猜積分因子為y函數了...公式課本上有....再失敗就很難找了...
找完積分因子再將ODE同乘積分因子就會正合...不然你乘完可以驗証dx前面那堆對y偏微分會"等於"dy前面那堆對x偏微分，再來就變成上述正合的作法了

發表人: h80053 時間: 2006-10-20 09:00 PM

假使ODE沒有正合：就是dx前面那堆對y偏微分會"不等於"dy前面那堆對x偏微分
那就得找積分因子了...要猜積分因子是y函數還是x函數或x、y的函數，通常是先猜積分因子為x函數就是你上面寫的I(x)=e^ S (dx前面那堆對y的偏微分 - dy前面那堆對x的偏微分)/n dx 這個公式(仁慈的老師出的)...如果你的積分裡面那堆就是你說你們老師寫的 F(x)=(y的偏微分-x的偏微分/)n這堆偏微分微出來後還有y那就表示失敗...因為你已經假設F是x的函數裡面還有y就造成矛盾了！就要換猜積分因子為y函數了...公式課本上有....再失敗就很難找了...
找完積分因子再將ODE同乘積分因子就會正合...不然你乘完可以驗証dx前面那堆對y偏微分會"等於"dy前面那堆對x偏微分，再來就變成上述正合的作法了

請問大大一下求出積分因子後
與原式相乘後算法又變成
正合的方式 (或合併法??)

是這樣嗎謝謝

不好意思又來請教各位大大了

1.當M+Ny'=0的積分因子僅是y的函數,則M.N應滿足何種條件?

(a)證明是否為正合(b)求績分因子(c)求通解(可能為隱解)

2. 1+(3x-e^(-2y))y'=0

3. 2xy^2+2xy+(x^(2)y+x^2)y'=0

4. y'+y=y^4

這些題目都是非正合@@ 求績分因子已經是我的極限了

還請各位大大幫忙

謝謝

發表人: x721012 時間: 2006-10-20 11:19 PM

回NO.104：
合併法不需要找積分因子...相反的用合併法的過程中所同乘或同除的都叫做積分因子...
而你若以正合方式找積分因子，那當然找到積分因子同乘後就用正合算法啦！
《1》滿足的條件就是積分因子是y的函數那個公式裡的積分僅為y的函數(f(y))就是裡面不能有x出現
   即 (N對x偏微-M對y偏微)/M = f(y)【如果有考且配分高的話建議証一下那個公式，配分低寫醬就行了】

《2》1+(3x-e^(-2y))y'=0
dx+(3x - e^(-2y))dy =0...M=1，N=3x - e^(-2y)
M對y偏微=0 不等於 N對X偏微=3 非正合
(用I為y的函數公式，為什麼要用y不用x?因為用x會失敗。怎麼知道的?我懶得試，是另解告訴我的)
積分因子I = e^ ﹝S (N對x偏微-M對y偏微)/M dy﹞= e^3y
同乘積分因子：e^3y dx+e^3y (3x - e^(-2y))dy =0
e^3y dx+(3x e^3y - e^y)dy =0
對dx前面那堆把y當成常數為x積分：xe^3y+f(y)
對dy前面那堆把x當成常數為y積分：xe^3y - e^y+g(x)
比較上面兩式：f(y)=- e^y，g(x)=0
則ODE通解為：xe^3y - e^y = C
【若題目無限定，另解】
dx+(3x - e^(-2y))dy =0找不到對象合併...觀察法失敗又非齊次ODE，看一下有兩個y相乘不為y的一階線性ODE，但以x來看並沒有兩個x以上相乘，所以視為x之一階線性ODE。
dx+3xdy = e^(-2y))dy
一階線性ODE積分因子為e^S 3 dy=e^3y
同乘e^3y：左式為x併積分因子(之前都跟你說是y併積分因子，角色互換而已)
d (xe^3y) = e^y dy
兩邊積分：xe^3y=e^y+C 即為ODE之通解
積分因子就是我們過程中所同乘or同除的東西：e^3y

《3》2xy^2+2xy+(x^(2)y+x^2)y'=0
(2xy^2+2xy)dx + (x^(2)y+x^2)dy=0....M為(2xy^2+2xy)，N為x^(2)y+x^2)
M對y偏微=4xy+2x  不等於 N對X偏微=2xy+2x 非正合
(用I為y的函數公式，為什麼要用y不用x?因為用x會失敗。怎麼知道的?我又懶得試，是另解告訴我的)
積分因子I = e^ ﹝S (N對x偏微-M對y偏微)/M dy﹞
I = e^ ﹝S (2xy+2x - 4xy - 2x)/(2xy^2+2xy) dy﹞=e^ 【S -2xy/﹝2xy(y+1)﹞】
I=e^ 【S -1/(y+1) dy】=e^ 【-ln(y+1) 】=e^【ln(y+1)^-1】=1/(y+1)
同乘1/(y+1)：1/(y+1) (2xy^2+2xy)dx +1/(y+1) (x^(2)y+x^2)dy=0
【2xy(y+1)/(y+1) 】dx + 【x^(2) (y+1)/(y+1)】dy=0
2xy dx+ x^2 dy
對dx前面那堆把y當成常數對x積分：x^(2) y+f(y)
對dy前面那堆把x當成常數對y積分：x^(2)y+g(x)
比較上面兩式：f(y)=0，g(x)=0
則ODE通解為：x^(2) y = C ，y=Cx^-2
【若題目無限定，另解】先使用合併法：
(2xy^2+2xy)dx + (x^(2)y+x^2)dy=0
同乘1/x：(2y^2+2y)dx + (xy+x)dy=0
(2y^2dx+xydy)+(2ydx+xdy)=0
y(2ydx+xdy)+(2ydx+xdy)=0
(2ydx+xdy)(y+1)=0
(y+1)﹝d(yx^2)﹞/x =0
同乘x/(y+1)：d(yx^2)=0
yx^2=C，y=Cx^-2即為ODE之通解
積分因子為同乘過的東西相乘起來：I=1/x*x/(y+1)=1/(y+1)

《4》y'+y=y^4 → dy+ydx=y^4 dx → (y-y^4)dx + dy ，M為y-y^4，N為1
M對y偏微=1- 4y^3  不等於 N對X偏微=0 非正合
(用I為y的函數公式，為什麼要用y不用x?因為用x會失敗。怎麼知道的?我還是懶得試，是另解告訴我的)
積分因子I = e^ ﹝S (N對x偏微-M對y偏微)/M dy﹞=  e^ ﹝S (0 - (1-4y^3)/(y-y^4 )dy﹞
I= e^ ﹝S - (1-4y^3)/(y-y^4 ) dy﹞
令u=y-y^4 du=(1-4y^3)dy
I= e^ ﹝S - 1/u  du﹞= e^-lnu= e^ln(1/u)=1/u=1/(y-y^4)
同乘積分因子：1/(y-y^4) (y-y^4)dx + 1/(y-y^4) dy = 0
dx + 1/(y-y^4) dy = 0
對dx前面那堆把y當成常數對x積分：x +f(y)
對dy前面那堆把x當成常數對y積分：S 1/(y-y^4) dy +g(x)
=S 1/﹝y^4﹝y^(-3) - 1﹞ dy+g(x)
=S y^-4 / ﹝y^(-3) - 1﹞ dy
令﹝y^(-3) - 1﹞=V → -3y^-4 dy=dV
=S -1/3  1/V dV +g(x)
=-1/3 lnV+g(x)
=-1/3 ln﹝y^(-3) - 1﹞+g(x)
比較上面：f(y)=-1/3 ln﹝y^(-3) - 1﹞，g(x)=x
則ODE通解為：-1/3 ln﹝y^(-3) - 1﹞+ x = C
【若題目無限定，另解】
dy+ydx=y^4 dx 無法找到合併對象合併法失敗，不為齊次ODE，有兩個y以上相乘不為y之一階線性ODE，雖沒有兩個x以上相乘但缺少X項亦不為x之一階線性ODE，此題為Benoulli方程式
同乘y^-4：y^-4 dy+y^-3 dx=dx
令u=y^-3，du=-3y^-4 dy
-1/3 du+udx = dx
1/3 du= (u-1)dx
同乘1/(u-1)：1/3* 1/(u-1) du=dx
兩邊積分：1/3 ln(u-1) =x+C
1/3 ln(y^-3 -1) =x+C 即為ODE之通解

可能這個章節的正合都是在講I為y的函數所以才剛好都用y函數積分因子公式，若隨機出現的話怎麼會知道要用y函數的。所以另解的思路給你參考唷...

發表人: 南無 時間: 2006-10-21 12:36 PM

插個積分因子的題目

y'+2y=6e(x)<上標>

我算的答案跟書上的答案有出入

我想問題出在

e(2x)<上標>*y=se(2x)<上標>*6e(x)<上標>dx

請問接下來怎麼積分

發表人: Johnny Brove 時間: 2006-10-21 01:00 PM

答案是ye^2x - 2e^3x = C吧?

IF為e^2x

乘入OEQ之後

p/py (∫(2ye^2x - 6e^3x)dx) = e^2x

[Johnny Brove 在 2006-10-21 01:04 PM 作了最後編輯]

發表人: h80053 時間: 2006-10-21 06:55 PM

謝謝大大的指導

我有問題我會在PO上來

謝謝

發表人: 南無 時間: 2006-10-22 08:41 AM

該怎麼說你的答案跟書的答案不一樣

我的只差指數前面的數值並沒差很多

發表人: Johnny Brove 時間: 2006-10-22 12:46 PM

引用:

南無寫到:

該怎麼說你的答案跟書的答案不一樣

我的只差指數前面的數值並沒差很多

ye^2x - 2e^3x = C應該沒錯

對原式來說是成立的

大概是表示成implicit所以不一樣吧

以explicit表示的話: y = 2e^x +ce^(-2x)

發表人: h80053 時間: 2006-10-22 09:12 PM

對dx前面那堆把y當成常數為x積分：xe^3y+f(y)
對dy前面那堆把x當成常數為y積分：xe^3y - e^y+g(x)
比較上面兩式：f(y)=- e^y，g(x)=0

這裡看不懂說@@我們老師也是用什麼比較的

前面怎麼又多出一個X跟F(Y)??

(用I為y的函數公式，為什麼要用y不用x?因為用x會失敗。怎麼知道的?我懶得試，是另解告訴我的)

大大是怎麼知道用X會失敗呢??

謝謝

[h80053 在 2006-10-22 09:18 PM 作了最後編輯]

發表人: x721012 時間: 2006-10-22 10:37 PM

哪裡有多丫???....第一式的f(y)就是第二式跟第一式比較後多出來的那個- e^y丫
第二式的g(x)在第一式又沒有...所以是零丫....兩式是相等的耶....為什麼有f(y)跟g(x)我在前面不是有說過了...看清楚唷！！！
因為我不是有用另解找出積分因子...找出來的積分因子明明就是y的函數...所以當用正合算的時候把積分因子當成x的函數來算當然會失敗丫....

發表人: h80053 時間: 2006-10-22 10:43 PM

不好意思,我沒有看仔細.

我在算看看其他題目有問題在PO上來請求糾正

謝謝大大

我看課本線性是如此解釋的

dy/dx(x)+p(x)y=q(x)

大大的線性式 : dx=3xdy-e^-2ydy

如果是這樣的話是代表說  上面2式一個是X一個是Y??

[h80053 在  2006-10-22 10:54 PM 作了最後編輯]

發表人: x721012 時間: 2006-10-23 08:25 AM

課本一向都是寫y的一階線性呀....我也有說明強調因為此題有兩個y以上相乘所以不為y的一階線性，
但觀察x卻發現沒有兩個x以上相乘的項所以可以視為x的一階線性ODE
dx+3xdy = e^(-2y))dy
你同除以dy：dx/dy+3x = e^(-2y)
dx/dy+p(y)x=q(y)
你跟課本的比較一下：是不是一樣...只是把x跟y的角色對換而已

發表人: h80053 時間: 2006-10-24 10:31 PM

問一題

2(y^3-2)+3xy^2dy/dx=0 ;y(3)=1

y的偏微分6y^2-4 不等於 X的偏微分 3xy^2  (非正合)

積分因子I  e^s(y的偏微分-X的偏微分/n)=e^s(1/x)=x

乘入原式: (2xy^3-2x)dx+[3x^2(y^2)]dy=0

不知道算到這裡是對還是錯  因為我最後算出來的答案跟解答的答案完全不一樣

所以我想不知道是不是積分因子就算錯了?

我算出來的答案是  6xy^2-4x

正解是 x^2(y^(3)-2)

謝謝

[h80053 在  2006-10-24 10:59 PM 作了最後編輯]

發表人: x721012 時間: 2006-10-24 11:00 PM

對y偏微：6y^2不等於對x偏微：3y^2 所以非正合
積分因子：e^s(y的偏微分-X的偏微分/n)=e^s(1/x)dx=x  (你偏微錯積分因子還算對咧...厲害= =!)
乘入原式：(2xy^3-4x)dx+[3x^2(y^2)]dy=0  (你是錯在這條...dx前面那堆裡面那個是-4x不是-2x粗心唷！）
dx前面那堆把y當常數積分：x^2* y^3 -2x^2+ f(y)
dy前面那堆把x當常數積分：x^2* y^3+f(x)
比較上下兩式得ODE通解為：x^2* y^3-2x^2=C

另解(合併法)：
(2y^3-4)dx+3xy^2dy=0
y^2* (2ydx+3xdy)-4dx=0
y^2* d(x^2* y^3)/x*y^2  -4dx=0
同乘x：d(x^2* y^3) - 4xdx=0
積分：x^2* y^3 - 2x^2=C 為ODE之通解
積分因子為x

發表人: h80053 時間: 2006-10-25 12:02 AM

sin(x-y)+cos(x-y)-cos(x-y)dy/dx=0;y(0)=7(3.14)/6

這一題看不懂要怎麼做只覺得sin(x-y)和cos(x-y)2者可以合併#

謝謝

發表人: Johnny Brove 時間: 2006-10-25 01:14 PM

引用:

h80053寫到:

sin(x-y)+cos(x-y)-cos(x-y)dy/dx=0;y(0)=7(3.14)/6

這一題看不懂要怎麼做只覺得sin(x-y)和cos(x-y)2者可以合併#

謝謝

Integrating Factor : e^x

發表人: h80053 時間: 2006-10-25 07:54 PM

2.y'=y/x+y  我算的

  m 不等於 n  非正合

整理  xdy-ydx+ydy=0
合併法  d(xy)+ydy=0
積分 xy+y''=0

但正解是 HOMOGENEOUS:yln|y|-x=cy

謝謝

發表人: h80053 時間: 2006-10-25 07:57 PM

Integrating Factor : e^x [/quote]

大大是怎麼算出它的積分因子?? 不會下手@@

謝謝

發表人: x721012 時間: 2006-10-25 11:42 PM

引用:

h80053寫到:

2.y'=y/x+y  我算的

  m 不等於 n  非正合

整理  xdy-ydx+ydy=0
合併法  d(xy)+ydy=0
積分 xy+y''=0

但正解是 HOMOGENEOUS:yln|y|-x=cy

謝謝

使用合併法請不時的微出來檢查一下....xdy-ydx怎麼會變成d(xy)???...d(xy)是等於xdy+ydx吧!!!
正解(合併法)：
xdy-ydx+ydy=0
同乘1/y^2：xdy-ydx/y^2 +1/y^2 ydy=0
-d(x/y) + 1/ydy=0
積分：-x/y+ln lyl =C
乘y：yln lyl - x =cy

發表人: x721012 時間: 2006-10-25 11:55 PM

引用:

h80053寫到:

Integrating Factor : e^x

大大是怎麼算出它的積分因子?? 不會下手@@

謝謝 [/quote]

不對吧...這題的積分因子怎麼可能會是e^x
解：
令x-y=u，y=x-u → dy=dx - du
原式乘dx並變數代換：sinudx+cosudx-cosu(dx-du)=0
sinudx+cosudx-cosudx-cosudu=0
sinudx-cosudu=0
sinudx=cosudu
同乘1/sinu：dx=(cosu/sinu)du
積分：x = S 1/sinu d(sinu)
x=ln lsinul +lnC
x=ln Csinu
x=ln Csin(x-y)為ODE之通解...你再自行代入題目條件解出C再代回去就是答案了

發表人: h80053 時間: 2006-10-26 07:24 PM

同乘1/y^2：xdy-ydx/y^2 +1/y^2 ydy=0

xdy 怎麼沒有乘1/y^2??

變成-d(x/y) + 1/ydy=0

謝謝

發表人: x721012 時間: 2006-10-27 04:11 AM

引用:

h80053寫到:

同乘1/y^2：xdy-ydx/y^2 +1/y^2 ydy=0

xdy 怎麼沒有乘1/y^2??

變成-d(x/y) + 1/ydy=0

謝謝

有啦...歹勢...少打括號...(xdy-ydx)/y^2

發表人: h80053 時間: 2006-10-27 11:15 AM

大大不好意思  我想拿這一題來跟上一題(y'=y/x+y)比較一下
y'=y/x+y
xdy-ydx+ydy=0
同乘1/y^2：xdy-ydx/y^2 +1/y^2 ydy=0
-d(x/y) + 1/ydy=0
積分：-x/y+ln lyl =C
乘y：yln lyl - x =cy

1/x+y+(3y^2+x)y'=0

先整理
(xdy+ydx)+3y^2dy+1/xdx=0
使用合併法
d(xy)+3y^2dy+1/xdx=0
積分
xy+y^3dy+1/xdx=c (解答是正確的)

我的問題是出在這
(xdy+ydx)跟上一題的(xdy-ydx)二個合併出來的值不一樣??
因為我想說都有xdy跟ydx就符合udx+xdu=d(xu)的型態.
所以為什麼上一題(y'=y/x+y)還要多乘1/y^2.

==================
接下來問一下2階的題目

證明(a)y1與y2為微分方程式之解(b)證明其龍思金不為0(c)寫出微分方程式之解

y''+4y=0 ;y(0)=1,y'(0)=0
1(x)=cosh(2x),y2(x)=sinh(2x)

以及

y''+1/x*y'+(1-1/4x^2)y=0; y1(x)=1/根號x*cos(x),x>0

我個人覺得是用未定係數法(但是老師算的看不懂)
逆運算子法好像就不能用了(好像一定要有e^ax的數值)
但是課本是叫我用降階法@@(沒一個方法會的).

=======

1.y''+12y'+6y=0

2.y''+3y'=0;y(0)=3,y'(0)=6

這個我們老師是叫我們用  2a分之負b加減跟號b的平方減4ac來算
但這二題我卡住算不出來@@

還請大大幫忙
謝謝
ps昨天網路壞掉不能上網今天跟同學借電腦所以才那麼晚回覆

[h80053 在  2006-10-27 11:36 PM 作了最後編輯]

發表人: h80053 時間: 2006-11-1 10:36 PM

有人能幫我解除疑惑嗎 ?? 謝謝

發表人: x721012 時間: 2006-11-2 12:09 AM

y''+12y'+6y=0
(D^2+12D+6)y=0
D^2+12D+6=0
D= ﹝-12加減根號(12^2-4*6)﹞/2
D=-6加減根號30
所以y=C1*e^(-6+根號30)x+C2*e^(-6-根號30)x 為ODE之通解

y''+3y'=0;y(0)=3,y'(0)=6
(D^2+3D)y=0
D(D+3)=0
D= 0 or -3
y=C1*e^-3x + C2
不過代入你的條件會無解咧....題目會不會是y''+3y=0這樣丫???差很多唷...看一下吧

發表人: h80053 時間: 2006-11-2 10:14 PM

明天要小考了@@ 下禮拜要考拉普拉斯轉換...到時候還請各位大大幫助

謝謝 (感謝前面幾位大大的教學)

發表人: Johnny Brove 時間: 2006-11-3 01:01 AM

引用:

x721012寫到:

y''+3y'=0;y(0)=3,y'(0)=6
(D^2+3D)y=0
D(D+3)=0
D= 0 or -3
y=C1*e^-3x + C2
不過代入你的條件會無解咧....題目會不會是y''+3y=0這樣丫???差很多唷...看一下吧

沒有吧?

代入的話

C1 + C2 = 3

-3C1 = 6

=>C1 = -2, C2 = 5

發表人: ykiwi 時間: 2006-11-4 12:42 AM

o'neil這本工數偏簡單若要考研究所程度不夠喔
要再去買些書來念才行!

發表人: h80053 時間: 2006-11-7 06:38 PM

我想請問各位一下
拉式轉換除了被公式以外還需要什麼技巧嗎??
轉拉式跟反轉拉式?

謝謝

發表人: h80053 時間: 2006-11-8 07:45 PM

請問大大這二題
以拉式轉換球初值問題

y''+4y=f(t);y(0)=1 y'(0)=0 f(t)=(0 0<=t<4 3 t>=4)

y''+2y'-7y=f(t) y(0)=-2 y'(0)=0 f(t)=( 0 0<=t<3 2 t>=5 )

謝謝

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