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金驢友〔初級〕

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#1 : 2012-5-15 11:29 AM 全部回覆	送花 (23) 送出中...

導數是可以證明的，並非是憑空定義的公理。
導數的意義是「函數在極小區段的變化量」。所以導數的原始定義是：

$\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta f(x)}{\Delta x}=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{f(x)-f(x-h)}{h}$

令 $f(x)=x^4$

$\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{(x+h)^4-x^4}{h}$

$=\lim_{h \to 0}\frac{(x^4+4x^3h+6x^2h^2+4xh^3+h^4)-x^4}{h}$

$=\lim_{h \to 0}4x^3+6x^2h+4xh^2+h^3$

其中 $6x^2h+4xh^2+h^3$ 的部份，因為 h 趨近於 0, 所以這部份可以消去，

得 $x^4$ 的導數 $4x^3$

所有的函數導數都是由這個基本定義來的，數學要真的去理解他的意義，而不是只背公式。

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#2 : 2012-5-15 02:51 PM 全部回覆	送花 (4) 送出中...

引用:

watchme寫到:

x 的 y 次方導數 = y 乘 x 的 y-1 次方，所以 a 的 4 次方導數 = 4a^3
sin 30度 = 0.5
這兩個都是人定義出來的東西，沒得證明！就像太陽打東邊出來試證明之，一樣無解。出這種題目明顯為難人家啊！不如要他證明錢包被扒學生證卻沒在皮包內吧。
PS. 導數是微分的重要基礎，高中數學才有喔！

sin 函數的意義是對邊除以斜邊。

而當角度30度時，「對邊/斜邊」正好等於 1/2, 因此這個值也是有其意義，並非是定義出來的。

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