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 TWed2k » 讀書會 » [問題]有關工程數學之 向量空間R^n 請高手解答指教 RSS   



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主題: [其它綜合] [問題]有關工程數學之 向量空間R^n 請高手解答指教   字型大小：小|中|大|巨  ← →
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#61 : 2006-10-5 12:17 PM     只看本作者 送鮮花給本文章，以表示喜愛之意，點花數可看送花者名單送花 (0) 引言回覆
S 1/(y^2 - y) dy=S 1/x dx → 分母因式分解後將1/y(y-1)化為部份分式也就是要把分母拆開，變成兩個分式相加：所以你可以假設 1/y(y-1) =  A/y+B/(y-1)..................(1)
右式通分相加為 (A(y-1)+By)/y(y-1)
所以1/y(y-1) = ( (A+B)y-A )/y(y-1)  比較左右式分子的係數得到A+B=0 -A=1 所以A=-1 B=1代回(1)式：1/y(y-1)= -1/y+1/(y-1)


請問這一段是在對左邊做積分嗎??

大大所教的因該就這邊比較有問題
我回去算算看


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#62 : 2006-10-5 05:17 PM     只看本作者 送鮮花給本文章，以表示喜愛之意，點花數可看送花者名單送花 (0) 引言回覆
y'-2y=-8x^2
這題答案是
y*e^(-2x)=S e^(-2x) *(-8x^2)dx  ??

還是有其他答案呢??


謝謝


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#63 : 2006-10-5 11:57 PM     只看本作者 送鮮花給本文章，以表示喜愛之意，點花數可看送花者名單送花 (3) 引言回覆
回覆第61篇：那段是在對左邊積分裡面的東西做處理才能把它直接積出來
回覆第62篇：
y'-2y=-8x^2
→y*e^(-2x)=S e^(-2x) *(-8x^2)dx   當然是要繼續算丫...ODE目的是在幹嘛?就是要把y算出來丫...你右邊都還沒積出來咧! 我不是有說之後的南無大大就有算出來了!所以我就沒寫了可見你沒回去看南無大大的解....請看完與看清楚整篇完整文章。
至於右邊是對x積分，但裡面卻是兩個函數相乘，當加減號時積分可以分別積分再做加減，但相乘時就要用部分積分：S u dV =U*V- S V dU  
不好意思想說一句話請不要生氣...你的微積分感覺是一片空白完全沒學過一樣，化為部分分式跟部分積分都算蠻基本的唷!所以建議你去翻一下微積分，或者問一下同學，因為積分不只這兩種方法，有時只要變數變換有時卻要化為真分式，所以你現在總不能遇到一題就覺得這一題就是要這樣解，而把解法記起來，那題目無限多怎麼記?隨便換題就不會啦！且工數通常會把積分當成類似九九乘法一樣的理所當然，因此有些地方一下子就自動需在腦子裡快速知道怎麼積出來，不然你一題三個小時也解不完，因為每到一段小積分就相當你又面對著一題新題目。提出問題當然是很樂意幫你解答，但是畢竟用打字的蠻不方便的，因為有些地方用講的會比用打的清楚，因為數學只要懂它的意思某些地方講一下自然就會覺得這麼做是理所當然的，有時反而在電腦上打的很詳細但卻還是又似懂非懂的。
不好意思喔，唸了一堆，繼續再幫你解下去一遍吧！那就先直接積右式出來給你看：
S e^(-2x) *(-8x^2)dx= -8*S e^(-2x) *(x^2)dx
為了使用部分積分所以把e^(-2x)丟進去dx，之前說過丟進去就是積分所以變成 -1/2 d (e^(-2x))
所以 -8*S e^(-2x) *(x^2)dx= -8*(-1/2)* S (x^2) d (e^(-2x))
《S u dV =U*V- S V dU  》
套上公式U=(x^2)，V=e^(-2x)：4*﹝(x^2)*e^(-2x) - S e^(-2x) d (x^2) ﹞
=4*(x^2)*e^(-2x) - 4*S e^(-2x) *2x dx
前段照抄，後面的積分還是要再做一次並把常數2提出去：
=4*(x^2)*e^(-2x) - 4*2*S x*(-1/2) d (e^(-2x))
後段的常數都乘起來：
=4*(x^2)*e^(-2x) +4*S x d (e^(-2x))
《S u dV =U*V- S V dU》
= 4*(x^2)*e^(-2x)+4 ﹝x *(e^(-2x)) - S e^(-2x) dx ﹞
=4*(x^2)*e^(-2x)+4 ﹝x *(e^(-2x)) - (-1/2)*e^(-2x) ﹞+ C
=4*(x^2)*e^(-2x)+4 x *e^(-2x) +2*e^(-2x) + C
所以原始ODE為：
y*e^(-2x) = 4*(x^2)*e^(-2x)+4 x *e^(-2x) +2*e^(-2x) + C
同除以e^(-2x)：
y=4*x^2 +4 x  +2 + C*e^(2x) 即為ODE之通解

順便跟你說一下你之前的問題(找積分因子)：
線性ODE的樣子都是 y'+Py=Q，P、Q皆為x的函數
積分因子就是e^(S P dx)
兩邊同乘積分因子：
e^(S P dx) *(dy/dx)+ e^(S P dx)*Py=Q*e^(S P dx)
同乘dx：
e^(S P dx) *dy+ e^(S P dx)*Py*dx = Q*e^(S P dx) *dx
左式一定會合併成d(y*e^(S P dx)) = Q*e^(S P dx) *dx
兩邊同時積分：
y*e^(S P dx) = S﹝Q*e^(S P dx) ﹞dx
右邊積出來後，左邊的e^(S P dx) 再除到右邊得到y，即為ODE之通解


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#64 : 2006-10-6 07:53 PM     只看本作者 送鮮花給本文章，以表示喜愛之意，點花數可看送花者名單送花 (0) 引言回覆
剛翻了一下課本@@終於記起來部分分式是什麼...

大大說工程數學的型式有很種 請問積分是最重要的嘛

來去算其他題目 有問題我再請大大幫我看看

謝謝


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#65 : 2006-10-7 02:15 PM     只看本作者 送鮮花給本文章，以表示喜愛之意，點花數可看送花者名單送花 (3) 引言回覆
其實微積分只是工數的一個工具
工數裡有很多並不是要人理解
它只是要你運用解題
與其說它是數學
不如說它是背的數學
需要牢記很多公式

小弟大學時唸的還過的去
比較難的是<laplace><向量>等章節
總之解決工數最好途徑
多背
多解題~熟記各題型解題技巧

[HCY1528 在  2006-10-7 02:16 PM 作了最後編輯]


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#66 : 2006-10-7 04:31 PM     只看本作者 送鮮花給本文章，以表示喜愛之意，點花數可看送花者名單送花 (3) 引言回覆
微積分是工數的基本工具沒錯，但我覺得只要懂怎麼微怎麼積跟微與積的關係，當然主要很多人的問題是在積分方面，但只要看得出來第一反應要變換變數還是部份分式或部分積分，能把它積出來，那在工數上應該就夠用了！
我個人有不同的看法是...背的數學唸起來是超級辛苦的，原理懂也不用懂的很徹底，懂個六七分然後知道大概怎麼來的重點要會用，在這方面如果有旁人告訴你更好，你會發現原來工數是可以這麼解的！學校老師的教法一定是一個主題一個主題，你就會覺得這個題目就是要這樣解就是要這個公式，又不懂是怎麼來的為什麼要這樣解要用這樣的公式，以至於會想說背起來吧！所以就愈背愈多!但如果知道解法與解法間的關係，比如說哪個是最能解出大部份題目且最快的方法優先考慮，不行的話再來再想到哪個方法，依序這樣想，就跟菜放在你面前叫你吃飯，你一定會先想說飯在哪裡我要先去拿添飯再來拿筷子然後再去坐下來吃，就這樣覺得理所當然。拿工數的一階ODE來說，我之前PO的那個思路如果你懂每個東西是在說什麼，那麼你看到一階ODE不就能很輕鬆的解出來了，正合公式也不需要背跟他人比起來你又少了一堆公式！當然這也不是我發明，也是經由別人告訴我我才知道原來可以這麼想這麼解!且用背的話，可能你學到Laplace就把ODE全忘光了...
工數說一點都不用背是騙人的比如說Laplace、Fourier等等轉換的某些東西為了解題方便需要背起來但像向量背起來也不見得解得出題目唷...就像基本的數學九九乘法要背，平方和要背三角函數要背等等，，但你用久了也就變成很理所當然的寫出來。
總而言之...用背的時間來算題目，多算是最好的方法，當然你所要付出的便是你那寶貴的時間！加油啦...
個人淺見....


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#67 : 2006-10-9 05:24 PM     只看本作者 送鮮花給本文章，以表示喜愛之意，點花數可看送花者名單送花 (0) 引言回覆
再來請問大大題目

求(1-2xe^2y)y'-e^2y=0之通解

這一題不知道如何下手@@
還請大大解題
謝謝

======
正合微分方程式


2y^2+ye^xy+(4xy+xe^xy+2y)y'   


不會下手@@

[h80053 在  2006-10-9 07:41 PM 作了最後編輯]


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#68 : 2006-10-10 12:04 AM     只看本作者 送鮮花給本文章，以表示喜愛之意，點花數可看送花者名單送花 (3) 引言回覆
第一題：(1-2xe^2y)y'-e^2y=0
(1-2xe^2y) dy/dx-e^2y=0
不喜歡有分母，同乘dx：(1-2xe^2y) dy-e^2y dx=0
dy-2xe^2y dy - e^2y dx=0
前面提到一階ODE先試第一招，合併法：
觀察一下發現-2xe^2y dy - e^2y dx 這兩項都有e^2y所以放一起試試看能不能合併：
dy- (2xe^2y dy +  e^2y dx)=0
dy - ﹝x d(e^2y)+ e^2y dx﹞=0
將e^2y看成一個u好了，xdu+udx=d(xu) = d(x*e^2y)
ODE等於：dy-d(x*e^2y)=0
積分：S dy- S d(x*e^2y)=0
y - x*e^2y= C  為ODE之通解

第二題：2y^2+ye^xy+(4xy+xe^xy+2y)y' = 0
2y^2+ye^xy+(4xy+xe^xy+2y)dy/dx = 0
不喜歡有分母，同乘dx：2y^2 *dx + ye^xy *dx +(4xy+xe^xy+2y) *dy = 0
2y^2 *dx + ye^xy *dx + 4xy *dy + xe^xy *dy +2y*dy = 0
遇到一階ODE一樣先試試合併法，況且又已知是正合一定能用(你要背正合公式就辛苦你啦！)：
合併法需找有dx的跟dy的才能合併，所以把長的比較像的放在一起且把x*y同次數的放一起：
(2y^2 *dx + 4xy *dy) + (ye^xy *dx + xe^xy *dy) +2y*dy = 0
2*(y^2 *dx + 2xy *dy) + e^xy (y*dx + x *dy) +2y*dy = 0
2*﹝y^2 *dx + x *d(y^2)﹞ + e^xy (y*dx + x *dy) +2y*dy = 0
2*d ﹝x*(y^2)﹞+ e^xy d(xy) + 2y*dy = 0
積分：S 2*d ﹝x*(y^2)﹞+ S e^xy d(xy) + S 2y*dy = 0
2 x*(y^2)+ e^xy + y^2 = C 為ODE之通解

註：S e^xy d(xy) 將xy看成u，S e^u du=e^u=e^xy
用紙筆抄一下再看比較容易看，因為電腦符號看起來比較難懂....


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#69 : 2006-10-10 09:31 AM     只看本作者 送鮮花給本文章，以表示喜愛之意，點花數可看送花者名單送花 (0) 引言回覆
觀察一下發現-2xe^2y dy - e^2y dx 這兩項都有e^2y所以放一起試試看能不能合併：
dy- (2xe^2y dy +  e^2y dx)=0
dy - ﹝x d(e^2y)+ e^2y dx﹞=0

這裡不清楚@@  課本有說分離法跟線性法  dy是如何跑出來的?

謝謝


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#70 : 2006-10-10 10:51 AM     只看本作者 送鮮花給本文章，以表示喜愛之意，點花數可看送花者名單送花 (3) 引言回覆
同乘dx後：(1-2xe^2y) dy - e^2y dx=0
同學...分配率= =!!!...dy乘進去而已：dy- 2xe^2y dy -  e^2y dx =0
dy - (2xe^2y dy +  e^2y dx)=0
合併不就是要製造xdu+udx=d(xu)，所以要配一個dx一個du
(2xe^2y dy +  e^2y dx)把e^2y看成一個u，所以有udx還少一個xdu，所以需把2xe^2y dy裡的e^2y丟進微分(d)後面，之前說過丟進去要積分，這樣微出來才會跟題目一樣，丟進去變為1/2*d(e^2y)所以(2xe^2y dy +  e^2y dx)=(2*1/2xd(e^2y) +  e^2y dx)=(xd(e^2y)  +  e^2y dx)=d(x*e^2y)

注：你在丟進去時也可以直接先丟進去然後把它微出來，看看與原式差多少再看要除什麼還是乘什麼，比如2xe^2y dy 先直接把e^2y丟進去變為x d(e^2y)，把 xd(e^2y)在心裡微出來後為x*2e^2ydy剛剛好與原來的一樣，所以2xe^2y dy = x d(e^2y)。

合併法課本裡是沒有的，但卻是最好用的，它僅是利用微分與積分之間的關係跟轉換，並把數多項併成幾項而順利積出。據我所知大多數學校的老師是沒教過的，僅有少數補習班老師會教，且也是補習班老師引以為傲的解法。


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#71 : 2006-10-10 11:17 AM     只看本作者 送鮮花給本文章，以表示喜愛之意，點花數可看送花者名單送花 (0) 引言回覆
(xd(e^2y)  +  e^2y dx)=d(x*e^2y)
是怎麼變成d(x*e^2y) 的阿??
一開始最前面的dy 不用理他了??還是說dy 就是xdu+udx=d(xu) 中的 d(xu)??

=======

這方法跟課本的比起來迅速好多=.=
請問大大 如果是一階的題目都能用嗎(比如說用來解 分離法跟線性法的題目)
老師不知道會不會接受
再來研究看看
謝謝


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#72 : 2006-10-10 01:34 PM     只看本作者 送鮮花給本文章，以表示喜愛之意，點花數可看送花者名單送花 (3) 引言回覆
(xd(e^2y)  +  e^2y dx)=d(x*e^2y)
比較(xdu+udx)=d(x*u)這樣看出來了沒???
dy還在丫，ODE會變成：dy-d(x*e^2y)=0
你再把第68篇看一次，用筆先抄起來，省去一些電腦符號你會看得更清楚。
那是因為我po的步驟很細，再加上文字說明，否則你自己用筆在算時感覺會更快。

至於一階ODE的解法我在第49篇說過了，而合併法大概可以用到一階的七成左右，為了方便你看我把它復製下來：

一階ODE概略解題思路：
第1：首先觀察看看是否能使用合併法。
第2：若不行便看一下是否為齊次ODE，有些非齊次能化為齊次。
(齊次ODE會比較快看出，但能合併的話要積分時會比較容易積出，個人覺得看配分....配分少通常能直接用合併法算出來)
第3：不能合併且非齊次..就看是否為線性，線性很好判斷...也不用等到上面兩個都不能用...前三題南無大大解的就是線性ODE
前三種方法都沒辦法算出就剩下Benoulli ODE 跟Riccati ODE
以上五種都沒辦法算出...那就沒辦法解出來了....如果你解出來了就可以跟Benoulli跟Riccati一起掛名了^0^
所以囉...一般都會用正合且要背正合的公式與找積分因子...不用懷疑唷...不用它是可以解出且速度更快。
但還是要看一下正合...以免題目限定用正合的方法解題或叫你用正合找積分因子。正合真的理解的話也是可以不用背正合公式的。


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謝謝大大我了解第一題了

研究第二題@@


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十週年紀念徽章（五級）  

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#74 : 2006-10-10 09:30 PM     只看本作者 送鮮花給本文章，以表示喜愛之意，點花數可看送花者名單送花 (0) 引言回覆
請問一下大大,如果是非正合的題型.
合併法
能用嗎??

比如說這一題  (老師的教法)

(3xy+y+4)dx+1/2xdy=0

偏微分y=3x+1 不等於 偏微分x=1/2

由類型一 =>  f(x)=偏微分y-偏微分x/n
                  =3x+1-1/2/1/2x
                  =6+1/x
           
積分因子  i(x)=e^s(6+1/x)dx=e^(6x+lnx)=xe^6x


原式 x   i(x)= xe^6x(3xy+y+4)dx+xe^6x(1/2x)dy=0
     符號不會打用?表示     ?(x,y)=sxe^6x(3xy+y+4)dx+k1(y)........(1)
                                             =sxe^6x(1/2x)dy+k2(x)........(2)


前面我還看的懂 接下來這行我就@@

(1)(2)式可得?(x,y)=1/2x^2ye^6x+2/3xe^6x-1/9e^6x=c

這是怎麼變的阿?? 不了解


先謝謝大大


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驢有所悟
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今日心情

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#75 : 2006-10-11 01:08 AM     只看本作者 送鮮花給本文章，以表示喜愛之意，點花數可看送花者名單送花 (3) 引言回覆
以我的思考模式來想的話：(3xy+y+4)dx+1/2xdy=0
不喜歡有分母，同乘2並把dx乘開：6xy dx+ 2ydx+8dx+ xdy=0
先試合併法， 將同x*y同次放一起：6xy dx+ (2ydx+ xdy) +8dx =0
僅中間項能合併：6xy dx+ ﹝d(x^2 *y)﹞/x + 8dx =0
同乘x：6x^2 *y dx+ ﹝d(x^2 *y)﹞ + 8xdx =0
6x^2 *y dx這項無法直接積出，合併法失敗。
觀察一下又不為齊次ODE所以亦失敗。
第3看是否為線性ODE：
由此式：6xy dx+ 2ydx+8dx+ xdy=0
將dy前面的x除掉並把dy拿到前面，把沒有y的放到右式：
dy+ 6*ydx+ 2/x *ydx= -8/x dx
dy + (6+2/x)*ydx = -8/x dx  
此為線性ODE (看不習慣可以同除dx：dy/dx + (6+2/x)*y = -8/x)
積分因子 I=e^S (6+2/x)dx = e^(6x+lnx^2) =x^2 *e^(6x)
線性ODE兩邊同乘積分因子I：
x^2 *e^(6x)*dy + x^2 *e^(6x)*(6+2/x)*ydx = x^2 *e^(6x) *-8/x dx
左邊看起來很復雜，但不用怕，一定就是y併積分因子的全微分，且右邊再整理一下：
d(y*x^2 *e^(6x)) = -8x*e^6x dx
兩邊同時積分：S d(y*x^2 *e^(6x)) = -8 S x*e^6x dx
右式需用部分積分積出，所以把e^6x丟到後面：y*x^2 *e^(6x) = -8 S x* 1/6 *d(e^6x) + C
y*x^2 *e^(6x) = -8/6 S x d(e^6x) +C  【S udv=uv- S vdu】
y*x^2 *e^(6x) = -4/3 ﹝ x (e^6x) - S e^6x dx﹞ +C
y*x^2 *e^(6x) = -4/3 ﹝ x (e^6x) - 1/6* e^6x﹞+C
y*x^2 *e^(6x) = -4/3  x (e^6x) + 2/9* e^6x +C  
(要跟你的答案比較的話同除以2，全移到左邊只留C/2，而C/2也是常數寫成一個新的c 所以可以跟你的答案一模一樣)
但最好的寫法是儘量寫成顯函數，就是把y給明確的寫出等於多少，但有些不能寫就不用了，此題可以寫：
所以ODE通解為：y = -3/(4x)+2/(9x^2) +C/x^2 *e^-6x

非正合時合併法有時也是能用，能用的話更快！但此題剛好不能用，又不為齊次ODE所以走第三條路以線性ODE來解。之前提過如果題目沒有限定的話用正合解題目付出的代價就是麻煩且要背公式，看你還寫出類型一那應該有類型二類型三之類的...除了要背，久了還會搞混！一階ODE送你這五條路是全OK且思考模式會覺得理所當然就是這樣做，沒有特例，特例能解得出來你就可以掛名囉!

如果回答你的問題的話，就是把(1)式裡的y都看成常數然後對x積分，積出來後不是要加個常數嗎?
此時你把y當成常數了，所以後面那個常數就是y的函數
同理把第(2)式裡的x當成常數然後對y積分，積出來後的常數就是x的函數
你積出來後的(1)、(2)式其實是同個函數也就是你的解，所以(1)式裡的y函數就是在(2)式裡面你積出來的那些y，(2)式裡面的x函數就是(1)式裡面積出來的那些x：你比較一下就知道了！
它沒有積出來，所以跳了很多步，因為我看了一下感覺要把(1)式積出來還蠻麻煩的！
(2)式就直接變成： y*xe^6x(1/2x) +k2(x) 因為裡面沒有y所有的x都當成常數所以積出來只是多個y，麻煩在第(1)式！


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