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» [問題]三角形不等式
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[學術科學]
[問題]三角形不等式
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#1 : 2007-11-10 09:16 PM
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如圖,
三角形ABC,在內部任取一點P
我的問題是:a+b>x+y 嗎
一直證明不出來,只覺得看起來好像成立
本想透過角度的方式ab(sinA)>xy(sinP)的方式,但是還是沒辦法證明
請問有什麼定理或定義有提到嗎?謝謝
[GGL 在 2007-11-10 09:17 PM 作了最後編輯]
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#2 : 2007-11-13 10:21 AM
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證明(x<a y<b)這樣應該可以吧
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#3 : 2007-11-13 04:35 PM
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用畢氏定理
證明X<a Y<B
就可以了
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#4 : 2007-11-16 12:23 PM
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謝謝回答,想了一下好像不太對...
如果BC比AB長很多,BP稍微比BC短....就會變成x>a and y<b
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Jonson
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#5 : 2007-11-16 07:08 PM
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分兩個步驟
準備動作 (作圖)
A、P 兩點各自向 BC 線段作一直線,垂直於 BC 線段
BP 線段向 三角形ABC的高 作延長線,交三角形ABC的高於點 Q
證明 (證明兩次,可得出結論)
1.
先證 三角形QBC的邊長 大於 三角形PBC的邊長
(三角形任兩邊長和會大於第三邊長,PQ + QC > PC)
2.
再證 三角形ABC的邊長 大於 三角形QBC的邊長
(這個簡單,用畢氏定理、三角函數都可以證)
結論
三角形ABC的邊長 大於 三角形QBC的邊長 大於 三角形PBC的邊長
所以,ABC的邊長 大於 三角形PBC的邊長
[Jonson 在 2007-11-16 07:17 PM 作了最後編輯]
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#6 : 2007-11-17 06:10 AM
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評分:+1
只須要用到三角形中"兩邊和大於第三邊"就可以解了
不用太高深的定理
[davidoff 在 2007-11-17 06:17 AM 作了最後編輯]
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#7 : 2008-8-27 03:40 PM
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1. 把AP連起來。
2. 之後看ABP和ACP這兩個三角形,因為大角會對大邊,所以 a > x , b > y。 所以, a + b > x + y。
我那時候的課本,大角對大邊,這個是有證明過,可以直接拿來用的。國三的幾合證明題。
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#8 : 2008-10-29 01:11 AM
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抱歉不畫圖
沿長BP射交AC於D
在三角形ABD中 AB+AD > BD
在三角形CPD中 CD+PD > PC
上兩式相加 即可
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