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 TWed2k » 讀書會 » [問題]有關工程數學之 向量空間R^n 請高手解答指教 RSS   



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主題: [其它綜合] [問題]有關工程數學之 向量空間R^n 請高手解答指教   字型大小：小|中|大|巨  ← →
南無
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#46 : 2006-9-30 01:21 PM     只看本作者 送鮮花給本文章，以表示喜愛之意，點花數可看送花者名單送花 (3) 引言回覆
1.-y'+2y=8x(2)<上標>

sol:

      原式同除-1

          y'-2y=-8x(2)<上標>

          積分因子I(x)=e(s-2dx)<上標>         <s:積分符號>

                            =e(-2x)<上標>

           e(-2x)<上標>*y=se(-2x)<上標>*-8x(2)<上標>dx

                               u                               dv

                   +     -8x(2)<上標>                 e(-2x)<上標>   

                   -      -16x                              -1/2 *e(-2x)<上標>   

                   +      -16                                1/4 *e(-2x)<上標>

                    -         0                                -1/8 *e(-2x)<上標>

  =8x(2)<上標>*  -1/2 *e(-2x)(上標>+16x * 1/4 *e(-2x)(上標>+

    16 *-1/8 *e(-2x)<上標>+C

同除e(-2x)<上標>


     y=4x(2)<上標>+4x+2+C * e(2x)<上標>


        2.y'-3/x y =2x(2)<上標>

sol:

      積分因子I(x)=e(s-3/x)dx <上標>

                        =e(-3lnx)

    e(-3lnx)*y=se(-3lnx) *2x(2)<上標> dx

                  已經到得分位置就是算不對

不知接下來該怎解




3.y'+1/xy=x2<上標>+2

sol:

          積分因子I(x)=e(s(1/x))dx <上標>

                            =e(lnx)<上標>

          e(lnx)<上標>*y=se(lnx)<上標>*[x2<上標>+2]dx

               x*y=sx*(x2<上標>+2)dx

                     =sx(3)<上標>+2xdx
                     
                     =1/4 *x(4)<上標>+x(2)<上標>+C
同除x

                   y=1/4 *x(3)<上標>+x+c/x

[南無 在  2006-10-1 05:39 AM 作了最後編輯]


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#47 : 2006-9-30 10:08 PM     只看本作者 送鮮花給本文章，以表示喜愛之意，點花數可看送花者名單送花 (0) 引言回覆
謝謝南無大大的無私幫助

我在先試看看


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#48 : 2006-10-1 09:12 AM     只看本作者 送鮮花給本文章，以表示喜愛之意，點花數可看送花者名單送花 (0) 引言回覆
第二題的積分因子I=e(-3lnx)=x^(-3)
x^(-3)*y=Sx^(-3)*2x^2 dx=S 2/x dx=2*ln!x!+2*lnC=2*ln(C*x)
y=2*x^3*ln(C*x)

原本積分後常數是C...為了整理成更漂亮的答案所以寫成2*lnC仍為常數...且!X!打開之+-號被C常數吃掉...可以將答案代入ODE中驗証


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#49 : 2006-10-1 09:52 AM     只看本作者 送鮮花給本文章，以表示喜愛之意，點花數可看送花者名單送花 (6) 引言回覆
一階ODE概略解題思路：
第1：首先觀察看看是否能使用合併法。
第2：若不行便看一下是否為齊次ODE，有些非齊次能化為齊次。
(齊次ODE會比較快看出，但能合併的話要積分時會比較容易積出，個人覺得看配分....配分少通常能直接用合併法算出來)
第3：不能合併且非齊次..就看是否為線性，線性很好判斷...也不用等到上面兩個都不能用...前三題南無大大解的就是線性ODE
前三種方法都沒辦法算出就剩下Benoulli ODE 跟Riccati ODE
以上五種都沒辦法算出...那就沒辦法解出來了....如果你解出來了就可以跟Benoulli跟Riccati一起掛名了^0^
所以囉...一般都會用正合且要背正合的公式與找積分因子...不用懷疑唷...不用它是可以解出且速度更快。
但還是要看一下正合...以免題目限定用正合的方法解題或叫你用正合找積分因子。正合真的理解的話也是可以不用背正合公式的。
大家加油啦!!!


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#50 : 2006-10-1 01:19 PM     只看本作者 送鮮花給本文章，以表示喜愛之意，點花數可看送花者名單送花 (0) 引言回覆
真的十分感謝2位的幫忙 等等回宿舍在研究一下 有問題的話我在提出問題
謝謝


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#51 : 2006-10-1 06:39 PM     只看本作者 送鮮花給本文章，以表示喜愛之意，點花數可看送花者名單送花 (0) 引言回覆
沒想到剛剛看了一下 @@既然都看不懂

積分因子I(x)=e(s-2dx)<上標>         <s:積分符號>

                            =e(-2x)<上標>
這裡我就不會了........
S怎麼消失了?還有DX呢??
雖然大大已經寫的很清楚了但是..在算算看
謝謝


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#52 : 2006-10-1 09:57 PM     只看本作者 送鮮花給本文章，以表示喜愛之意，點花數可看送花者名單送花 (3) 引言回覆
你是誤解了....S←積分符號....所以S -2 dx是對-2積分....所以等於-2x


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#53 : 2006-10-2 10:19 AM     只看本作者 送鮮花給本文章，以表示喜愛之意，點花數可看送花者名單送花 (0) 引言回覆
e(-2x)<上標>*y=se(-2x)<上標>*-8x(2)<上標>dx
   i(e)            *  y    =     i(e)   *    x


dy 怎麼不見了？？ y'不是等於  dx/dy   ?? s又是?

問題太多@@ 還請包含


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#54 : 2006-10-2 07:57 PM     只看本作者 送鮮花給本文章，以表示喜愛之意，點花數可看送花者名單送花 (6) 引言回覆
那我用我的解法讓你看看是否能理解....
原式乘以-1： y'-2y=-8x^2
dy/dx -2y=-8x^2
同乘以dx：dy-2ydx=-8x^2 dx
積分因子：I=e^(S-2dx)=e^(-2x)
同乘以積分因子：e^(-2x) * dy - e^(-2x)*2ydx=e^(-2x) *(-8x^2)dx
e^(-2x) *dy +yd(e^(-2x))=e^(-2x) *(-8x^2)dx
將e^(-2x) 看成一個數假設看成t好了：tdy+ydt=d(y*t)
所以：d(y*e^(-2x))=e^(-2x) *(-8x^2)dx
兩邊同時積分(掛上積分符號S)：S d(y*e^(-2x))=S e^(-2x) *(-8x^2)dx
將y*e^(-2x)看成一個數U好了：左式→ S dU=U
所以：y*e^(-2x)=S e^(-2x) *(-8x^2)dx  
之後就跟之前南無大大解的一樣...右邊積分多個積分常數左邊的e^(-2x)再除過去...那為什麼左邊的積分怎麼沒有積分常數呢?是因為兩邊同時積分後左邊的積分常數可以移到右邊與右邊的積分常數合併成一個常數...所以只有一個積分常數。
那你可能會有個疑問，就是同乘積分因子後左邊的第二項怎麼能合併到後面去...功力夠用看的OK...不夠的話你把它微開就真的是這樣....但你可能會覺得那當我算到這裡怎麼知道要這樣合併?..其實很簡單，線性ODE乘完積分因子後左邊一定是y併積分因子也就是：左式*I=d(yI)因為乘上積分因子代表ODE會正合意思就是可以直接積出來。之後右式積分再把I除過去。
這也就是很多人常常會背的公式：y = I^(-1)*S I*Q(x) dx
所以你可以不用背唷...只要記得是同乘積分因子(因要造成正合，ODE可以直接積出)...左式是y併積分因子就ok了。


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#55 : 2006-10-3 12:06 AM     只看本作者 送鮮花給本文章，以表示喜愛之意，點花數可看送花者名單送花 (0) 引言回覆
e^(-2x) *dy +yd(e^(-2x))=e^(-2x) *(-8x^2)dx 這裡我開始看不懂了

2ydx  在乘了e^(-2x)後 變成了yd(e^(-2x)) ??


d(y*e^(-2x))=e^(-2x) *(-8x^2)dx 這一行??

我真的搞不懂說 因為課本也沒多說明 外加數學不好所以 .....

謝謝大大


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#56 : 2006-10-3 01:06 AM     只看本作者 送鮮花給本文章，以表示喜愛之意，點花數可看送花者名單送花 (3) 引言回覆
我前一篇後面的說明有說喔(倒數第五行)...你可以把說明全看完...其實這部份也可以不用懂！不過當然能理解是最好的。
同乘以積分因子後左式的第二項：- e^(-2x)*2ydx=+yd(e^(-2x))
d是代表微分所以由右邊來說：y*d(e^(-2x)) = y*e^(-2x)d(-2x)= -2y*e^(-2x)dx=左式...(我說的把它微開就是這個意思)
白話一點來說：把d後面拿出來是微分，相反的把前面拿進去就是積分
所以由左式要變到右式就是要把 -e^(-2x)*2丟進去，就是把它積分：S -e^(-2x)*2 dx=e^(-2x)
所以 - e^(-2x)*2  ydx前面丟進去：+yd(e^(-2x)).....(我說的功力夠就是積分用看的，怕看錯心算微回去確定)
這個方法在我之前所提到的合併法裡常常使用.....
比如隨便舉一個簡單的小例子：y*cosxdx+sinx*dy=0
→  y*dsinx+sinx*dy=0
將sinx看成一個數 t 好了：ydt+tdy=d(yt)
所以：d(y*sinx)=0→ y*sinx=C→ y=C/sinx

如果還有不懂的地方可以再問唷....建議實際用筆寫在紙上比較好懂，畢竟電腦的符號比較侷限


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#57 : 2006-10-3 06:22 PM     只看本作者 送鮮花給本文章，以表示喜愛之意，點花數可看送花者名單送花 (0) 引言回覆
真的是謝謝大大
我想再這問一些作業的題目
=======
決定微分方程式是否可分離? 若是,則求其解;若否,不必求解
1.xy'+y=y^2
2.y+y'= e^x-sin(y)
=============

我第一題是這麼算
x(dy/dx)+y=y^2
x(1/dx)=y^2-y/dy
再來積分   S:積分符號
Sx(1/dx)=Sy^2-y/dy
inlxl=inly^2-yl  

再來我就不會了......
我去看解答他寫這樣
========
A: The equation separates as dx/x=(dy/y^2-1)+(1/y-1/y-1)dy .
     integration gives inlxl+c = inly/y-1l  which can be rewritten
    as y=ax(y-1) this can easily be solved for y to give y=1/1-ax
    y(x)=0 is also a singular solution

  (1/y-1/y-1)dy  是怎麼出來的阿@@ 解答是如此表示的
     跟我寫的差很多....

      謝謝


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#58 : 2006-10-3 11:07 PM     只看本作者 送鮮花給本文章，以表示喜愛之意，點花數可看送花者名單送花 (3) 引言回覆
不好意思先導正一下你積分算法：
照你的算法那 S 1/(x-1)(x+2) dx不就變成 ln l(x-1)(x+2)l 了...所以當然不是呀!變數在分母的話要用變數代換或用因式分解再用部份分式，像這個例子因式分解好了所以將1/(x-1)(x+2)化成部分分式：1/(x-1) - 1/(x+2) 再個別積分
回到原式：
x(dy/dx)+y=y^2
x(dy/dx)=y^2 - y
同乘以dx：xdy=(y^2 - y)dx
通常變數分離最好是將dx和dy保持在分子所以同乘以1/x *1/(y^2 - y)：1/(y^2 - y) dy=1/x dx
但需令(y^2 - y)不等於0
兩邊積分：S 1/(y^2 - y) dy=S 1/x dx
將 1/(y^2 - y)分母因式分解=1/y(y-1) 再將其化為部份分式 -1/y+1/(y-1)
所以原積分為：S (-1/y+1/(y-1)) dy=S 1/x dx
-ln lyl + ln ly-1l = ln lxl + lnC
ln ly/(y-1)l= ln Clxl
ly/(y-1)l=Clxl
正負號都被常數吃掉還是常數：y=Cx(y-1) 此為通解
別忘了你乘分母的時候要注意：當(y^2 - y)=0時 y=0 y=1為奇異解
不信你把y=0跟y=1代回原ODE也都是解唷！不過通常都討論非零解也就是y=0通常不算


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#59 : 2006-10-3 11:36 PM     只看本作者 送鮮花給本文章，以表示喜愛之意，點花數可看送花者名單送花 (0) 引言回覆
通常變數分離最好是將dx和dy保持在分子所以同乘以1/x *1/(y^2 - y)：1/(y^2 - y) dy=1/x dx

-ln lyl + ln ly-1l = ln lxl + lnC
ln ly/(y-1)l= ln Clxl
ly/(y-1)l=Clxl

這裡我不清楚....

[h80053 在  2006-10-4 12:02 AM 作了最後編輯]


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xdy=(y^2 - y)dx
你要把上式變數分離不是要把有x的丟一邊、y丟一邊嗎?所以你會把x除到右邊，(y^2 - y)除到左邊
這樣的做法雖然是已覺得是理所當然，但基本的原理卻是兩邊同乘1/x *1/(y^2 - y)
所以要注意分母不得為零囉！
S 1/(y^2 - y) dy=S 1/x dx → 分母因式分解後將1/y(y-1)化為部份分式也就是要把分母拆開，變成兩個分式相加：所以你可以假設 1/y(y-1) =  A/y+B/(y-1)..................(1)
右式通分相加為 (A(y-1)+By)/y(y-1)
所以1/y(y-1) = ( (A+B)y-A )/y(y-1)  比較左右式分子的係數得到A+B=0 -A=1 所以A=-1 B=1代回(1)式：1/y(y-1)= -1/y+1/(y-1)
回到S 1/(y^2 - y) dy=S 1/x dx就變成：S (-1/y+1/(y-1)) dy=S 1/x dx
-S 1/y dy+ S 1/(y-1) dy = S 1/x dx
第二項S 1/(y-1) dy ：變數變換令y-1=u，dy=du→ S 1/u du=ln lul=ln ly-1l
原本積分常數為C但大家都是ln，所以為了可以合併方便積分常數取lnC，常數取ln也是常數所以沒差
所以就變成：-ln lyl + ln ly-1l = ln lxl + lnC  (題目沒說y大於1跟x大於1，且ln中不能為負所以掛l l)
ln的運算方法是相加裡面的數相乘，相減相除：所以上式：ln ly-1l - ln lyl = ln lxl + lnC  
→ ln ly/(y-1)l= ln Clxl
裡面的數相等：l y/(y-1) l=Clxl
打開絕對值：(+或-) y/(y-1)= (+或-)Cx
y=(+或-)/(+或-)  Cx(y-1) → y=(+或-)  Cx(y-1)
因為+C或-C都還是常數丫...所以是C
所以y=Cx(y-1)


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